2016年7月15日金曜日

ベクトル 内積と成分(平面の場合)

ベクトル 内積と成分(平面の場合)


平面上にある2つのベクトルの内積の成分表示を求めることにする。
平面上ではベクトルの成分は
であり、基本ベクトルをとすると、それぞれ
となる。
したがって、内積は
また基本ベクトルは大きさが1で互いに直交するので、
この結果を上式に代入すると
特に、と基本ベクトルとの内積は
つまり、ベクトルの成分はベクトルと基本ベクトルとの内積になっている。

問題1 のなす角θ0≦θ≦180°)を求めよ。
【解】
内積の定義は
よって、
内積を求めると
また、
よって、


問題2 ベクトルに垂直で、大きさがに等しいベクトルを求めよ。
【解】
とする。
だから
だから
よって、
これを解くと(x,y)=(3,−4)(−3,4)
よって

問題3 3点A(−1,0)B(0,2)C(−3,1)が与えられている。
を満たす第1象限の点Dの座標を求めよ。

【解】
Dの座標を(x,y)とする。
よって、
これを解くと、(x,y)=(2,1),(-2,3)
Dは第1象限の点なので、D(2,1)


問題4 ベクトルに対して、ベクトルの成分を、次のそれぞれの場合について求めよ。
(1) が平行の場合
(2) が垂直の場合
【解】
(1) が平行なのでを満たす実数kが存在しなければならない。
よって
また、であり、b=−2

(2) だからでなければならない。
よって
また、のとき
であり、よって、b=2である。