2017年2月21日火曜日

複素数を用いて極座標における速度、加速度を求める

複素数を用いて極座標における速度、加速度を求める


平面上を移動する動点Pの時刻tにおける位置ベクトルをrとすると、速度ベクトルv、加速度ベクトルaは次式で与えられる。
平面の基本ベクトルを、また、時刻tにおける点Pの座標を(x,y)とすれば、
となるので、
である。
速度ベクトルと加速度ベクトルを
とあらわせば、
から、

複素数zは、その実部をx、虚部をy、さらに虚数単位をii²=1)とすると、z=x+yiで表される。
そして、横軸に実軸、縦軸に虚軸をとると、複素数z=x+yiは右の図で示される。
右図を見ると、複素数が平面ベクトルと同等のものであることがわかると思う。

この手法を用いれば、
と速度ベクトル、加速度ベクトルを簡潔に表現できる。

右図に示すように、原点Oと点zと結ぶ線分と実軸のなす角度(反時計回りを角度の正の向きとする)θ、原点Oと点zとの線分の長さを
で定義することにする。
そうすると、zの実軸の成分x、虚軸の成分y
となる。
つまり、
となる(極形式)。
これをオイラーの関係
で書き換えると、
となる。

これをtで微分すると、
ここで、記号「・」はtによる微分
である。
は大きさが1でと方向が同じベクトルと考えることができる。

また、
ベクトル(cosθ,sinθ)とベクトル(−sinθ,cosθ)の内積を取ると
となり、は直交している。
そして、その大きさは
で1。




も大きさが1だから、互いに直交する単位ベクトルを元にした座標を作ることができる。
この新たな座標は何かといえば、対応規則からあきらかなように、極座標!!

そこで、
をもう一度見なおすと、速度ベクトルvの基本ベクトル方向の成分、基本ベクトル方向の成分ということになる。
そして、速度ベクトルvをさらに微分すると、
となることから、

以上のことをまとめると、
極座標における速度、加速度のr方向、θ方向の成分は

ここでは、が直交していることを内積を使って示したが、
だから、を90°π/2(rad)回転させたもの。


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