My Favorite Song: Justφ's

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ハミルトン・ヤコビの方程式

ハミルトン・ヤコビの方程式

始点は同じだが終点が異なる２つの経路１、２があるとする。

経路１によって求められる作用をS₁、経路２によって求められる作用をS₂とする。

このとき作用の差は

ラグランジュの方程式

から、最終行の第１項の積分は０になる。

また、より、

一般化運動量

を用いると、

今度は、始点と終点を固定し、終点に到達時刻が異なるものとする。

作用Sは

だから、時刻ｔで微分すると、

また、先の議論で作用Sは一般化座標qの関数でもあったので、

を上の式に代入すると、

ここで、Hはハミルトニアン、

ですが、

を用いてハミルトニアンを書き換えると、

になるので、

これをハミルトン・ヤコビの方程式という。

話を簡単にするために、自由度１の場合について考える。

このとき、ハミルトン・ヤコビの方程式は、

になるにゃ。

で、量子力学の時間を含むシュレディンガーの方程式は、

ここで、iは虚数単位、はプランク定数hを2πで割ったもの、つまり、

すこし形が違うけれど、ハミルトン・ヤコビの方程式とシュレディンガーの方程式は似た形をしているのがわかるだろう。

シュレディンガーは、どうも、このハミルトン・ヤコビの方程式を参考に、有名なシュレディンガーの波動方程式を使ったらしいんだよね。

ハミルトンの正準方程式と正準変換

ハミルトンの正準方程式と正準変換

§１　正準変数と変分

ラグランジアンとハミルトニアンには

の関係があるので、作用積分は

になる。

境界条件を入れ、これを変分すると、

よって、停留条件δS=0を入れると、

ハミルトンの正準方程式を得ることができる。

§２　正準変換

(q,p)→(Q,P)と変数変換すると、一般に、ハミルトニアンもH(q,p)→H’(Q,P)と変化するが、このとき、

が成立するような変換を正準変換という。

ラグランジアンに時間の微分項を加えても、作用積分の変分は変わらないので、

となるようにW（これを母関数という）を導入する。

で、W=W(q(t),Q(t),t)であるとすると、

これを代入すると、

これは恒等式なので、上の式から

という関係式が得られる。

正準変換の例１

は正準変数qとpを入れ替える変換。

実際、

となり、p=Q、P=−qと入れ替わっている。

次に独立変数をq、Pに選ぶために、

とおき、微分すると

これを⑨に代入すると、

したがって、

という関係式を得る。

正準変換の例２

は恒等変換。

実際、計算してみると、

となる。

§３　無限小正準変換

εをパラメータとして

とすれば、W₂による正準変換は

となる。

をεの１次精度まで求めると、

Pとpの差はε程度なので、上の式の右辺のPをpにさり気なくすり替えると、

このG(q,p,t)を無限小正準変換子という。

無限小正準変換の例

空間並進Q=q+ε、P=pの場合、

だから、生成子G(q,p,t)は

空間回転 z軸のまわりに無限小回転（θ=ε）の場合

から、生成子は

時間並進 T=t+εの場合、

だから、生成子はハミルトニアン。

何でも、これと

「ハミルトニアンが無限小変換Gで不変ならば、Gは保存される」

というネーターの定理とを組み合わせると、次のことが結論されるらしい。

１　空間が一様（空間並進対称）ならば運動量は保存される

２　空間が等方的（空間回転対称）ならば角運動量は保存される

３　時間が一様（時間並進対称）ならばエネルギーが保存される

これを見ると、物理的な空間と（一般化された）運動量、そして、時間とエネルギーの間には深い関係がありそうだ。

そして、これは量子力学の不確定性原理と何やら関係があるに違いない！！

だって、量子力学では、位置と運動量、時間とエネルギーは不確定の関係にある。

だから、この組み合わせには深い関係があるに違いない。

　――物理の話だから、適当なこと、無責任なことを口走る、ネムネコであった(^^ゞ――

ddt³さんがきっと何か話してくれると思うにゃ。

と、例によって丸投げするネムネコであった。