ハミルトン・ヤコビの方程式

ハミルトン・ヤコビの方程式

始点は同じだが終点が異なる２つの経路１、２があるとする。

経路１によって求められる作用をS₁、経路２によって求められる作用をS₂とする。

このとき作用の差は

ラグランジュの方程式

から、最終行の第１項の積分は０になる。

また、より、

一般化運動量

を用いると、

今度は、始点と終点を固定し、終点に到達時刻が異なるものとする。

作用Sは

だから、時刻ｔで微分すると、

また、先の議論で作用Sは一般化座標qの関数でもあったので、

を上の式に代入すると、

ここで、Hはハミルトニアン、

ですが、

を用いてハミルトニアンを書き換えると、

になるので、

これをハミルトン・ヤコビの方程式という。

話を簡単にするために、自由度１の場合について考える。

このとき、ハミルトン・ヤコビの方程式は、

になるにゃ。

で、量子力学の時間を含むシュレディンガーの方程式は、

ここで、iは虚数単位、はプランク定数hを2πで割ったもの、つまり、

すこし形が違うけれど、ハミルトン・ヤコビの方程式とシュレディンガーの方程式は似た形をしているのがわかるだろう。

シュレディンガーは、どうも、このハミルトン・ヤコビの方程式を参考に、有名なシュレディンガーの波動方程式を使ったらしいんだよね。