位相入門 第１回 ユークリッド空間

位相入門　第１回　ユークリッド空間

の２つの元に対して、その距離を

で定義する。

集合に距離を導入したとき、またはをn次元ユークリッド空間と呼び、の元をn次元ユークリッド空間の点という。さらに、を２点x、yのユークリッド距離という。

平面三角形について、２辺の長さの和は残りの１辺の長さより大きい。このことを一般化しての３点x、y、zに対して、三角不等式

が成り立つ。

この証明に先立ち、任意の実数に対してシュワルツの不等式

が成り立つことを証明する。

任意の実数tに対して

が成り立つ。

よって、

さて、とし、とおくと、であるから、シュワルツの不等式より

よって、三角不等式が成り立つ。

の点aと任意の正の実数εに対して、の部分集合

を、aを中心としεを半径とする開球体といい、記号であらわす。

は開区間(a−ε,a+ε)であり、は開円板である。

Aをの部分集合とする。の点aについて、

となる正の実数εが存在するとき、aをAの内点という。Aの内点全体の集合をAの内部といい、記号やなどであらわす。Aの内点はAの点なので

が成り立つ。

Aのに関する補集合の内点をAの外点という。すなわち、の点aに対して

となる正の実数εが存在するとき、aをAの外点、Aの外点全体の集合をAの外部といい、記号で表す。

また、

が成り立つ。

の点でAの内点でも外点でもない点をAの境界点という。

Aの境界点全体の集合をAの境界といい、やなどで表す。

定義から明らかなように、Aの境界とAの補集合の境界とは一致し、の点aがAの境界点であるとは、どんな正の実数εに対しても

が成り立つことである。

また、定義から、次のことが成り立つ。

問１　次のことを示せ。

【証明】

一般に、

とおけば、

したがって、

ゆえに、aがAの外点であることと、aがAの補集合の内点であることは同値である。

（証明終）

例　r>0とする。

とすると、

このことはほとんど明らかだが、y∈Aとすると、

とおくと、開球に属するxについて

よって、

したがって、yはAの内点となり、

また、なので、

問２　次のことを示せ。

【証明】

aをAの内点とすると、あるε>0が存在して

条件よりA⊂Bだから

よって、Aのすべての内点はBの内点となり、

（証明終）

Aをの部分集合とする。の点aについて、どんな正の実数εに対しても

が成り立つとき、aをAの触点という。Aの触点全体の集合をAの閉包といい、やで表す。

Aの点はもちろんAの触点であるから、

また、

である。