2016年11月29日火曜日
包絡線
包絡線のアニメーション
αをパラメータとする曲線群f(x,y,α)=0のすべての曲線――上の場合、両軸に一定の長さ切り取られる直線――にただ１点だけ接する曲線を包絡線という。
アステロイドは、この直線（曲線）のすべてに１点だけ接している。
つまり、アステロイドは、この曲線群の包絡線である。
定円上の定点からでる弦を直径とする円群の包絡線はカージオイド（cardiod）。
下のアニメーションでは、定円を
とし、定点を原点Oとしている。
ちなみに、原点Oはカージオイドの尖点である。
の包絡線
2016年11月24日木曜日
2016年11月23日水曜日
My Favorite Song : Tell your world
My Favorite Song : Tell your world
'Tell your world' sung by Himawari
'Shake it!' sung by Himawari
拡散方程式の安定性のスプレッドシート
拡散方程式の安定性のスプレッドシート
ウェブ版
https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vR6YhCyw38iquMOWqFesS1KGuSufYYDZ9ej7BhgL4kZ8FE1CPFcKpHhUuBncfHkwB63yz5nF2L7EPiJ/pubhtml
ダウンロード（エクセル用）
https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vR6YhCyw38iquMOWqFesS1KGuSufYYDZ9ej7BhgL4kZ8FE1CPFcKpHhUuBncfHkwB63yz5nF2L7EPiJ/pub?output=xlsx
Δt、Δκのところを数値をかえて数値実験してください。
ここを変えるだけで、あとは自動的に計算するようになっています。
ネムネコが作るんだケロよ、そのへんは抜かりないケロよ。よく出来ているんだケロよ、このスプレッドシート。
Δｘを変えてもいいですが、境界条件などが変わってしまいますから、その点は注意してください。
このピンクの部分だからね。
この部分、例えば、ΔtのM２セルの値を0.25から0.3に変えると、次のようにこの値ですべて自動で計算してくれる。
よく出来ているんだケロよ、このスプレッドシート(^^)
2016年11月21日月曜日
2016年11月20日日曜日
改良版 非定常１次元熱伝導方程式
改良版 非定常１次元熱伝導方程式
スプレッドシート（html版）のアドレス↓
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1eyGcSD--PSjLYGExSPZopvmCxqiiQhKflXU6E8a0OS4/pubhtml
スプレッドシート(エクセル版）のアドレス↓ （注：クリックするとファイルがダウンロードされます）
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1eyGcSD--PSjLYGExSPZopvmCxqiiQhKflXU6E8a0OS4/pub?output=xlsx
2016年11月17日木曜日
2016年11月16日水曜日
アニメーションのテスト
数学のgifアニメーションのテストです。
一応、説明すると、点Aはｘ軸上を（一定速度で）運動する点で、点BはAB＝３を保ちながらy軸上を移動する点。で、そしてはABの中点。
このとき、Cの軌跡は半径AB/2の半円になる。
何故ならば、△OABは直角三角形だから、斜辺ABの中点CとOとの距離は、A、Bの位置に関わらず、一定で、その長さはAB/2だから。
そして、このアニメーションは、その図形的、作図的な証明。
またAは一定の速度なのに、Bの速度はその位置によって変化する。
点Bは、原点O近くで、えらく速く動いている。
これは以下の理由による。
さらに言うと、この点Bの速さは光の速度を越えていて、物理学の特殊相対性理論と矛盾する。
さてさて、この矛盾を物理学ではどう解決すると思う？
考えて味噌！！
わかるケロか？
一応、説明すると、点Aはｘ軸上を（一定速度で）運動する点で、点BはAB＝３を保ちながらy軸上を移動する点。で、そしてはABの中点。
このとき、Cの軌跡は半径AB/2の半円になる。
何故ならば、△OABは直角三角形だから、斜辺ABの中点CとOとの距離は、A、Bの位置に関わらず、一定で、その長さはAB/2だから。
そして、このアニメーションは、その図形的、作図的な証明。
またAは一定の速度なのに、Bの速度はその位置によって変化する。
点Bは、原点O近くで、えらく速く動いている。
これは以下の理由による。
点Aの座標を(x,0)、点Bの座標を(0,y)とすると、AB=3だから
これを時刻tで微分すると、
dx/dtは点Aの移動速度だから一定。xは−a≦x≦aでやはり有限。
したがって、y=0のとき、点Bの速さは∞になるにゃ。
したがって、y=0のとき、点Bの速さは∞になるにゃ。
だから、Bが原点から離れるとき、または、原点に達するとき、点Bが瞬間移動しているように見えるのは、当然なんだケロ。
数学の理論通り！！
数学の理論通り！！
さてさて、この矛盾を物理学ではどう解決すると思う？
考えて味噌！！
わかるケロか？
2016年11月14日月曜日
中点公式と台形公式の精度比較
中点公式と台形公式の精度比較
等間隔に分割されている場合、
だから、
プログラムのデフォルト設定は
[0,1]の分割数nを増やすとどうなるか、この計算の場合、どちらのほうが精度がいいのかを確かめて欲しい。
2016年11月3日木曜日
第７回 微分
第７回 微分
微分です。
微分をどう定義したらいいのか、どう説明したらいいのかがわからず、弱ってます。
微分の定義？
y＝f(x)という関数があり、x＝aで
が存在するとき、ｆはx＝aで微分可能といい、
と書き、f'(a)を関数fのx＝aの微分係数（微分商）という。
このとき、x＝a+hとかくと、h＝x-aとなりますので、①式は
と書くことができますにゃ。
x→aのときh→0になのは、わかりますよね？
また、この時、
とすれば、
と書くこともできます。
①～③は、どれも微分（係数）の定義です。
ですから、好きなものを微分の定義に選んでください。
今、話しているのは、あくまでx＝aという一点での微分可能性の話です。これ以外の点で微分可能かどうかはまた別の話です。
もし、ｘの至る点で関数ｆが微分可能であれば、
となって、このf'(x)を導関数と呼びます。
このf'(x)をy'や
と書く場合もあります。
と書く場合もあります。
記号的に便利なのは、なのですが、これですと、一点の微分なのか、導関数なのかがわかりにくいという欠点がありますにゃ。そこで、
なのですが、これですと、一点の微分なのか、導関数なのかがわかりにくいという欠点がありますにゃ。そこで、
という少々無理な書き方をしたりしますにゃ。
問題に合わせて、①～③のどれかを使います。
では、例題を幾つか・・・。
例題１
を求めよ。
解答（怪答？）
（１）、（２）、（３）はそれぞれ
の場合のx＝aの微分係数ですにゃ。
の場合のx＝aの微分係数ですにゃ。
ちなみに、
勘のいい人は
といったような法則性があることに気付かれるんじゃないですか。
といったような法則性があることに気付かれるんじゃないですか。
では、n＝0の時は、どうなりますか？
だから、
で、どうやら成り立っているようです。
であるならば、
が成り立ちそうです。
（３）と一致しています。
αが自然数の時は、二項定理や「微分の積の公式と数学帰納法」などを用いて証明します。
【証明】
微分の積の公式
を使いますと、
仮定 
（Ⅰ） n＝1のとき、
なので、仮定は成立する。
なので、仮定は成立する。
（Ⅱ） n＝kのとき、
が成立すると仮定すると
が成立すると仮定すると
n＝k+1のとき、
となり、仮定が成立する。
よって、
④が成り立つのは、次回、証明します。
⑤は微分をするときに使う最も重要な公式です。これだけは、絶対に憶えてほしいですにゃ。
nが負の整数の場合は、・・・。
f(x)＝0でないならば、
で、
と置くと、
となるから、
成立する。
（証明終了）
（証明終了）
ちなみに、ここで、
を使っています。
これは何を意味するかといいますと、ｆがｘで連続であるということ。ということは、微分できるためには、関数が連続である必要がある！！
αが自然数や整数でない場合の証明は、合成関数の微分と対数微分法を説明してからかな。
問題
はx＝0で微分可能か
【解答】
、
一方、x
> 0では
ゆえに、
x＝0で左側極限（左側微分係数）と右側極限（右側微分係数）が異なるので、微分可能でない。
（解答終了）
（解答終了）
このことから、関数が連続であることは、微分可能であるための十分条件ではないことがわかります。
同時に、微分可能であることは、
であることからわかります。
ちなみに、はx＝0以外では微分可能です。
はx＝0以外では微分可能です。
今回は、
を使って、微分を説明しましたが、
次回は
を使って説明します。
ですから、これに慣れてもらうために、
②の定義に従って、
を微分してみます。
を微分してみます。
ですが、f(x)=x²を微分するとき、わざわざ定義にしたがって計算をする必要はない。
という公式を使って、
として計算してください。
f(x)=x³ならば、
ですから、
ところで、
ｆがx＝aで微分可能であるとき、
は幾つになるでしょう？
これは、
実は、
は数値計算をするとき、結構重要なもので、微分の近似計算によく使われます。
つまり、
ですね。
f(x)=x²のとき、
でx＝1の微分係数の近似値を、h＝0.1、0.01として求めると、精度の差に愕然としますよ。
誤差風に書くと、
対して、
つまり、誤差の程度がhの2乗オーダーとｈの１乗オーダーで異なるということを表わしています。
この差は非常に大きい！！
a＝1、h＝0.1で計算すると、誤差は0.01、0.31なので30倍も違う！！
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