最小作用の原理とラグランジュの方程式

最小作用の原理とラグランジュの方程式

§１　ラグランジュの方程式

運動する物体の位置を指定するのに必要な座標を一般化座標という。ここで、Nは運動の自由度である。

ラグランジアンが与えられたとき、次の積分を作用積分（ハミルトンの第一主積分）という。

作用積分は、経路を定めると値が定まる。

経路を物体が実際に通る経路とする。さらに、右図のように、この経路Cをだけ変化させた経路とする。

２つの経路C、C'は始点、終点が同じなので、両端では

である。

この２つの経路に沿った作用積分の差δSは、

一方、変分は同一時刻のにおける２つの経路の差を表しているので、変分と微分と順序を交換することができ、

式（５）を式（４）に代入すると、

だから、（６）式の右辺第１項は0。

よって、

作用積分が停留値をとるためにはδS=0でなければならないので、の各係数がすべて０でなければならず、

となる。

これをオイラー・ラグランジュの方程式という。

§２　ラグランジアン

最小作用の原理（ハミルトンの原理）を用いてラグランジュの方程式を導いたのだけれど、§１ではラグランジアンは与えていなかった。

そこで、ラグランジュの方程式とニュートンの運動方程式が一致するように、ラグランジアンLを定めることにする。

物体の座標をで表すと、ポテンシャル（エネルギー）の中で運動する質量mの粒子に対するニュートンの運動方程式は

である。

ここで、U(r)はU(x,y,z)の簡略表現であり、

また、

一方、運動エネルギーは

で、これから

となり、ニュートンの運動方程式は

と、運動エネルギーKとポテンシャルエネルギーUを用いて書き換えることができる。

一般化座標をq₁=x、q₂=y、q₃=zとおけば、

と書くことができる。

したがって、ラグランジアンLを

に選べば、ラグランジュの方程式（８）とニュートンの運動方程式（１１）は一致する。

また、運動ネルギー、ポテンシャルエネルギーはスカラーだから、ラグランジアンを（１３）式で選んでおけば、ラグランジアンもスカラーとなる。したがって、ラグランジュの方程式（８）は任意の座標系で成立する。

実は、

としても、

とラグランジュの方程式は成立する。