第３回　数列の極限の定理

§１　数列の極限の定理

２つの数列の極限値をそれぞれa、bとする。

つまり、

定理２

【略証】

（Ⅰ）

なので、

∀ε > 0, n ≧ m に対して

となる。

（Ⅱ）

ここで、

とすれば、n≧mならば

（Ⅲ）

ここで、

とすれば、n≧mならば

ε<1と考えていいから、

よって、

（Ⅳ）は

と考えればいいので、

を証明すればいい。

∀ε > 0, n ≧ m に対して

になるｍが存在する。

ここで、0 < ε < |b|/2 にとれば

よって、

（証明終了）

定理３

収束する数列は有界である。

【証明】

有界だから、すべてのｎに対して

を満たす実数Mが存在する。

また、仮定より、数列が収束するので、

ε > 0 とすると、n ≧ m

となるmが存在する。

つまり、n ≧ m に対しては

ｍ以下のととを合せて

とする。

このどれよりも大きい数をMとすれば（※）、

したがって、収束する数列は有界である。

（証明終了）

（※）　たとえば、

有限集合

の最大値をlとすると、

とすればよい。

§２　単調数列

であるとき、は単調増加であるという。

のとき、は単調減少であるという。

集合が上に有界（下に有界）であるとき、数列は上に有界（下に有界）であるという。

定理４

有界な単調数列は収束する。

【証明】

単調増加数列の場合を証明する。

は上に有界なのだから、sup M = a という上限が存在する。

で、上限の定義より

は単調増加だから

となり、n ≧ m に対して

上限の定義（定理）として次のものをあげることにする。

定理０（上限と下限）

上限sup M = a であるための必要十分な条件は

∀x ∈ M, ｘ ≦ a

かつ

∀ε > 0, ∃x ∈ M： a – ε < x

である。

下限 inf M = β であるための必要十分な条件は

∀x ∈ M, ｘ ≧ β

かつ

∀ε > 0, ∃x ∈ M： x < β + ε

である。

定理４は、数列の収束判定でよく使うので、これは憶えて欲しい。