第５回 数列の発散

第５回　数列の発散

数列が収束しないとき、数列は発散するという。

数列がaに収束する、すなわち、

をより厳密に定義すると、

となる。

したがって、この否定は

となり、これが数列の発散の定義になる。

これを日本語に翻訳すると、次のようになる。

任意の実数 a に対し、ある正の数εが存在して、任意の自然数mに対して、m 以上のある自然数n が存在して、

となる。

の定義は、

論理式で書くと

あるいは

である。

これを、日本語（翻訳数学語？）にすると

任意の実数 K に対し、ある自然数 m が存在して、n ≧ m ならば

となる。

の場合は、で定義すればいい。

なのですが、この定義は難しいので、高校数学の発散の分類を紹介することにする。

（１）が正で限りなく増大する場合

（２）が負で、その絶対値が限りなく増大する場合

（３）このいずれにも属しない場合 は不確定

（１）の場合、は正の無限大に発散するといい、（２）の場合、負の無限大に発散するという。

そして、

（３）の場合、数列は振動するという。

こちらの方がわかりやすいのではないか。

正の無限大に発散する例としては、

振動する例としては、

などがある。

紹介したくないのだけれど、数列の収束、発散の判定に便利なので、次の定理を紹介することにする。

定理

ならば

ちなみに、の b は有限の値。

どれもほとんど明らかなので証明しないけれど、たとえば

この一般項で与えられる数列が収束するかどうかの判定は、

として、

だから、

とすればよい。