第６回 集積値とワイエルシュトラスの定理

第６回　集積値とワイエルシュトラスの定理

§１　集積値

一般項が

である数列を考える。

で、この部分列

を考えると、これは、それぞれ、+1 と –1 に収束する。

この +1 や –1 のような点を数列の集積値という。

集積値の定義

数列のある部分列がa に収束するならば、このa を数列の集積値という。

問　次の数列の集積値は何か。幾つあか。

集積値の定義は次のように言い換えてもいい。

集積値の定義’

a のどのような近傍にも、数列の項が無限に多く存在するとき、このa を数列の集積値という。

aの近傍というのは、ε > 0 とすると、開区間 (a–ε, a + ε) のことだと思って欲しい。
そして、上の定義は、どのような正の数εをとっても、数列の項がa–ε < x < a+ε の間に無数あるということ主張している。

問の（２）の場合だと、集積値は1 と0 だが、a = 1 の近傍には、εをどれだけ小さくとっても、

との項が無数に存在する。

同様に、a = 0 の近傍にもの項が無数に存在する。

たとえば、

とすると、0の近傍には

に等しい項が無数に存在する。

§２　ワイエルシュトラスの定理

定理８　（ワイエルシュトラスの定理）

有界な数列には少なくとも一つ集積値が存在する。

【証明】

有界だから

を満たす正の実数Kが存在する。

つまり、

閉区間[ –K, K] を二等分して、[–K, 0] と[0, K] という閉区間を作ると、 このどちらかにの無数の項がある。

かりに[0, K] にあるとして、

として、これをまた二等分する。すると[0,K/2] と[K/2, K] になって、このどちらかにの無数の項が存在する。

仮に[K/2, K]に無数の項があるとすると、

として、これをまた二等分する。

こうした操作を繰り返してゆくと、

という閉区間の減少列が得られる。

すると、

になる。

区間縮小法の原理から、これら閉区間すべてに共通に含まれる一つの数a が存在する。

それで、

のなかに含まれる数列の項の中で最も番号が若い奴を、に含まれる数列の中で最も番号が若い奴をといった具合に、この操作をと無限に繰り返す。

すると、

というの部分列が得られて、①と②より、はa に収束する（※）。

したがって、
a はの集積値である。

（証明終了）

どして、ワイエルシュトラスの定理を証明したかというと、次回にこの定理を使って、コーシーの収束条件を証明したから。

本によっては、

定理８’　（ワイエルシュトラス・ボルツァノの定理）
有界数列は収束する部分列をもつ。
となっていると思うけれど、定理８を言い換えただけで、同じもの。

（※）

で、区間の幅がだから