第２回 １次変換と行列の積

第２回　１次変換と行列の積

§１　１次変換

x、y∈R（実数）のとき、点(x,y)全体の集まりを

　　

と表すことにする。

　　

の形で与えられる写像を、R²からR²への１次変換という。

この１次変換fは係数行列

　　

によって定まる。この行列Aを１次変換fを表す行列とという。

問題　R²からR²への１次変換f、gを表す行列を

　　

とする。このとき、合成写像も１次変換であることを示し、を表す行列を求めよ。

【解】

　　

とすると、

　　

である。

このとき、はの写像であり、①と②から

　　

となる。

したがって、合成写像は１次変換であり、を表す行列は

　　

である。

（解答終）

問題１のを表す行列を行列AとBの積ABと定義すれば、次のようになる。

　　

§２　２×２の行列の積

　　

とするとき、

　　

これは模式的に次のように書くことができる。

　　

行列Aの１行目の成分、２行目の成分を、それぞれ、Aの１行目の行ベクトル、２行目の行ベクトル、また、Bの１列目の成分、２列目の成分を、それぞれ、Bの１列目の列ベクトル、２列目の列ベクトルと呼ぶことにすると、Aのi行目の行ベクトルとBのj列目の列ベクトルとの内積が、行列A、Bの積ABのi行j列目の成分(i,j)に対応していることがわかる。

したがって、

　　

さらに、、行列AとBの積をCとし

　　

とすると、Cの(i,j)成分は

　　

と書くことができる。

ところで、

　　

だから、行列AとBの積ABに関して

　　

は、一般に成り立たないことが分かる。

しかし、A、B、Cを行列、cを実数とするとき、次の法則は成り立つ。

　

【略証】

　　

とする。

さらに、行列行列Aのi行j列（i=1,2:j=1,2）の成分を用いて、行列Aを

と略記することにする。

　　

（略証終）

こんな証明、総和記号Σでも使わないと、面倒くさくて、やってられるか(^^ゞ

また、

　　

§３　単位行列と零行列

を単位行列といい、記号EまたはIで表す。

とすると、

　　

だから、

　　

また、

　　

である。

§３　行列の積の拡張

２行２列の行列A、Bを

　　

とすると、その積ABは

　　

さらに、、行列AとBの積をCとし

　　

とすると、Cのi行j列の成分は

　　

２行２列同士の行列の積のこの定義は、そのまま、m行l列の行列Aとl行n列の行列Bとの積に拡張することができる。

すなわち、

　　

AB=Cとすると、

　　

そして、m行l列の行列Aとl行n列の行列Bとの積Cはm行n列の行列であり、そのi行j列の成分は

　　

で与えられることがわかる。

また、

　　

と考えれば、①より、ABの積Cはn行１列の行列であり、

　　

と考えれば、

　　

したがって、

　　

同様に考えると、