第３回 ２行２列の行列の逆行列

第３回　２行２列の行列の逆行列

A、Xを２行２列の行列（２次の正方行列）、Eを単位行列とする。

Aに対して

　　

を満たすXをAの逆行列といい、記号A⁻¹で表す。また、逆行列を持つ行列を正則行列という。

また、

　　

だから、A⁻¹の逆行列はAである。

したがって、

　　

である。

【逆行列の一意性の証明】

XとYが行列Aの逆行列とする。

逆行列の定義より、

　　

よって、

　　

したがって、Aの逆行列はただ１つである。

（証明終）

において、ad−bc≠0のとき、Aの逆行列は

　　

である。

また、ad−bcの値をAの行列式といい、記号、などであらわす。

したがって、

　　

問１　、ad−bc≠0のとき、

　　　

がAの逆行列であることを確かめよ。

【解】

　　

とする。

　　

よって、XはAの逆行列である。

（解答終）

問２　次の行列に逆行列があれば、それを求めよ。

【解】

（１）　｜A｜=1・4−2・3=−2≠0。よって、Aには逆行列があり、

　　

（２）　｜B｜=1・4−2・2=0だから、Bの逆行列は存在しない。

（３）

　　

よって、Cには逆行列が存在し、

　　

（解答終）

（補足）

問３の（３）のCの逆行列は

　　

になっていることに注意。

行列Cを表す写像fとすると、fは平面上の点を原点を中心に時計回りにθ回転させる写像。したがって、その逆写像は原点を中心に−θ回転させる写像である。

したがって、を表す行列は

　　

（補足終）

は、｜A｜=ad−bc=0のときに逆行列をもたない。

ad−bc=0という条件は

　　

と

　　

と同じ条件。

したがって、行列Aの列ベクトルと、行ベクトルとが平行なときに、Aは逆行列をもたない。

問２の（２）はこの条件を満たしているので、逆行列をもたない。

問３　のとき、AC＝Bとなる行列Cがあれば求めよ。

【解】

｜A｜=1・1−2・(−2)=5≠0だから、Aに逆行列は存在し、

　　

また、AC=Bだから、

　　

（解答終）

行列の積は交換法則が成り立たないから、

　　

ではなく、問３の中で示した

　　

であることに注意！！

問４　A、Bを２次の正方行列とする。A、Bがともに逆行列をもつとき、A+Bは逆行列を持つか。

また、A+Bが逆行列をもつとき、AとBは逆行列を持つか。

【解】

　　

とすると、｜A+B｜=1・2−2・1=0だから逆行列をもたない。

A+Bを

　　

と分解すると、｜A｜=2≠0、｜B｜=−2≠0だから、AとBは逆行列をもたない。

したがって、命題「A、Bを２次の正方行列とする。A、Bがともに逆行列をもつとき、A+Bは逆行列を持つ」は偽。

また、

　　

E²=EE=Eだから、A+Bの逆行列はE。（あるいは、｜A+B｜=1≠0だから、A+Bは逆行列を持つ。）

　　

とすると、｜A｜=｜B｜=0であり、AとBはともに逆行列をもたない。

よって、命題「A+Bが逆行列をもつとき、AとBは逆行列を持つ」は偽である。

（解答終）

問５　A、Bを２次の正方行列とする。

AとBが正則行列のとき、ABは正則行列であり、その逆行列(AB)⁻¹は

　　

であることを示せ。

【略証】

　　

したがって、A⁻¹B⁻¹はABの逆行列。

よって、

　　

（略証終）

証明はしないが、

A、Bが２次の正方行列であるとき、行列式に関して、次の関係が成立する。

　　

この関係を使うと、

A²=Eのとき、

　　

だから、Aは逆行列をもつことを示すことができる。

問６　AとBを２次の正方行列とするとする。

次の命題は正しいか。

　　

であるとき、AまたはBは零行列である。

【解】

　　

とすると、

　　

よって、この命題は正しくない。

（解答終）

問６の解答の正方行列A、Bのように、

A≠OかつB≠Oのとき、

　　

が成立するものがある。

このようなA、Bを零因子という。

ただし、A、Bがのいずれかが逆行列をもつとき、

　　

は成立する。

何故ならば、

いま仮、A、BのAが逆行列を持つとすると、

　　

となるからだ。