ベクトル 位置ベクトル

ベクトル　位置ベクトル

原点Oが定まっているとき、点Aの位置は

　　

で定められる。このようなベクトルを位置ベクトルという。

だから、

　　

になる。

ABをm:nにわける点Pの位置ベクトルをとすると、

　　

つまり、

　　

である。

m=nのときは中点で

　　

になる。

また、点A、B、Cの位置ベクトルを

　　

とするとき、△ABCの重心をGとすると

　　

である。

△ABCの重心Gは、BCの中点をMとすると、重心Gは中線AMを2:1に内分する。

よって、

　　

では、問題を。

問題１　空間に、同一線上にない３点A、B、Cがある。次の条件を満たすとき、点G、PはA、B、Cに対してどのような位置関係にあるか。

　　

【解】

点A、B、C、G、Pの位置ベクトルを

　　

とする。

（１）

　　

よって、Gは△ABCの重心である。

（２）

　　

よって、PはABを1:2に内分する点である。

（解答終わり）

問題２　空間に３点O、A、Bがある。点Pが直線AB上にあるための必要十分条件は、次の式が成り立つことであることを証明せよ。

　　

【証明】

点Pが直線AB上にあるならば、

　　

となるtが存在する。

　　

s=1−tとすると

　　

逆に、

　　

であるとすれば、s=1−tだから

　　

となり、点Pは直線AB上に存在する。