ベクトル ベクトルのなす角とベクトルの垂直

ベクトル　ベクトルのなす角とベクトルの垂直

ベクトルのなす角をθとする。

このベクトルの内積は

であり、であるとき、

になる。

また、の必要十分な条件は、のとき、、つまり

である。

問題１　△ABCと点Oについて、次のことを証明せよ。

OA⊥BC、OB⊥CAならばOC⊥ABである。

【証明】

とする。

OA⊥BCから

OB⊥CAから

①と②より

よって、OC⊥ABである。

（証明終わり）

これは、「三角形ABCの３垂線は一点（垂心）で交わる」ことの証明になっている。

問題２　２つのベクトルの大きさが等しいとき、ベクトルとは垂直であることを示せ。

【証明】

条件より

 

との内積をとると

よって、とは垂直である。

（証明終わり）

これは、ひし形の対角線は互いに直交することの証明になっている。

問題３　はともに零ベクトルではなく、

であるとする。

このとき、次の問いに答えよ。

（１）　のなす角度を求めよ。

（２）　はの何倍か。

【解】

とする。

（１）　

よって、θ=120°。

（２）

 

よって、√3倍である。

（解答終わり】

とすると、

という条件から、△OAC、△OBCは正三角形になる。
何故ならば、ベクトルの和の定義よOB=OAで、OA=AC=OBとなって、△OACは正三角形。同様に、△OBCも正三角形。

だから、

∠AOB=∠AOC + ∠COB=60°+60°=120°

また、

△OABに対して余弦定理を使うと

このように解くこともできる。

問題４　平面上に和が零ベクトルになる３つのベクトルがあって、OA=1、OB=2、OC=√2である。

このとき、次の問いに答えよ。

（１）　のなす角度をθ（0≦θ≦π）とするとき、sinθを求めよ。

（２）　△OABの面積を求めよ。

（３）　△ABCの面積を求めよ。

【解】

（１）　とする。

和が零ベクトルになるので

sin²θ+cos²θ=1だから

（２）

（３）　だから、Oは△ABCの重心（※）。

よって、

【解答終わり】

（※）△ABCの重心をGとすると

となり、Oと△ABCの重心Cは一致する。

△ABC=3△OABになるのは、COの延長とABの交点をDとすると、Oは△ABCの重心でCD=3ODとなるから。