第２４回 面積分２

第２４回　面積分２

曲面S上で定義されたベクトル関数をA(x,y,z)、曲面S上の各点での単位法線ベクトルをnとするとき、面積分は

　　

で定義される。

A・nはn上へのAの正射影であり、

　　

とすれば、面積分は

　　

面積分のところでやったように、曲面Sを微小な部分に分割し、その一つの面積をΔS、単位法線ベクトルをnとする。
このとき、nの成分

　　

はnの方向余弦であり、面積ベクトルnΔSの成分は

　　で、これを

　　

とおけば、ΔS₁はΔSをyz平面上に正射影して得られるものに正負の符号をになる。

　ーーΔS₂はΔSをzx平面上に、ΔS₃はΔSをxy平面上に正射影して得られたものに正負の符号を付けたものーー

nΔSをΔSで表せば、

　　

ΔS₁、ΔS₂、ΔS₃は座標平面上の面積だから、面積分を

　　と書くことができる。

これは、ndS=dSとおき、ベクトルdSの成分を

　　

としたものと考えることができる。

これは次のように考えることもできる。
曲面Sがr=r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))であらわされるとする。このとき、単位法線ベクトルnは

　　

そして、面積素は

　　

だから、面積分は

　　

となる。

で、

　　とする。
これ、重積分のところでやったヤコビアンだケロ。

ということで、

　　

となる。

よって、

　　

と書くこができる。

重積分のところで、

　　

としたとき、

　　

になるという話をしたけれど、これを使っている。
面積分や体積分の計算は、重積分の計算ができないことには話にならないので、次回は重積分の簡単な復習をやるケロ。