第２３回 面積分

第２３回　面積分

一つの閉曲線Cで囲まれた曲面S上で連続である関数をf(x,y,z)とする。曲面Sをn個の微小な部分

　　

に分割し、この分割をΔであらわす。
の面積をとし、の中の任意の点を選んで

　　

を作る。分割を細かくし、Δを限りなく小さくしていった時のS(Δ)の極限値を

　　

と書き、これを曲面S上のf(x,y,z)の面積分という。

曲面r=r(u,v)の面積素は

　　

したがって、

　　

となる。

ここでDはSに対応するuv平面の領域である。

ちなみに、

　　

曲面がz=f(x,y)で与えられるときは

　　

となる。

これは、u=x、v=yとおくと、曲面はr=xi+yj+f(x,y)kとなり、

　　

となる。

よって、その外積は

　　

となり、

　　

と直接計算することもできる。

曲面S上の単位法線ベクトルをnとし、ベクトル関数をA(x,y,z)とする。曲面S上の各点においてAとnの内積A・nを作り、そのS上の面積分

　　をS上のAの面積分という。
S上のAの面積分を
　　

と書いたりもするけれど、これは表記法の違いで同じものを表しているにゃ。

また、ベクトルAの単位法線ベクトルnへの正射影
　　を用いて

　　

と表記する場合もある。

曲面Sの単位法線ベクトルnは

　　

さらに、面積素dSは

　　

なので、

　　

になる。

ここで、DはSに対応するuv平面の領域である。

添字だと誤解を招くおそれがあるので、簡略表現を使わないならば、曲面S上のAの面積分は

　　と定義される。

問題　球面の位置ベクトル

　　

で与えられる。このことを用いて球の表面積を求めよ。

【解】

　　

よって、

　　

となり、