第６回 クレーロー型の微分方程式
次の微分方程式
をクレーロー型の微分方程式という。
（１）式の両辺をxで微分すると、
となる。
したがって、p'=0またはx+f'(p)=0である。
p'=0のとき、pは定数だからこれをcとおくと、
となり、これが一般解である。
また、x+f'(p)=0、すなわち、x=−f'(p)のとき、
で、これは特異解である。
以上より、クレーローがの微分方程式（１）の解は、
である。
問１ 次の微分方程式を解け。ただし、
とする。
とする。
【解】
（１） y=px+p²の両辺をxで微分すると、
p'=0のとき、pは定数だからこれをp=cとおくと、一般解は
x+2p=0のとき、x=−2pとなり、これを用いて微分方程式y=px+p²からpを消去すると、特異解は
（２） 微分方程式の両辺をxで微分すると、
よって、p'=0のとき、
のとき、
したがって、
（解答終了）
クレーロー型の微分方程式の特異解は、一般解の包絡線である。
包絡線
αをパラメータとする曲線群f(x,y,α)=0の各曲線とただ１点で接する（共通接線）を曲線を、この曲線群の包絡線という。
f(x,y,α)を３変数のC¹級の関数とすると、曲線群f(x,y,α)=0の包絡線は、２曲線
の交点の軌跡で、この２式からαを消去した曲線に含まれる。
問２ 次の曲線群の包絡線を求めよ。
【解】
（１） y=αx+α²の両辺をαで偏微分すると、
αを消去すると、
よって、包絡線は
（２） 
の両辺をαで偏微分すると、
の両辺をαで偏微分すると、
よって、
したがって、包絡線は
（解答終）
問３ クレーロー型の微分方程式
の特異解
の表す曲線は、一般解y=cx+f(c)が表す直線族の包絡線であることを示せ。
の表す曲線は、一般解y=cx+f(c)が表す直線族の包絡線であることを示せ。
【解】
のとき
だから直線と曲線は交点を有する。
この点における曲線の接線の勾配は
だから、直線y=cx+f(c)はこの曲線の接線である。
（解答終）
裏技として、「クレーロー型の微分方程式の一般解がcの代数方程式の場合、その判別式＝０が特異解になる」というものがある。
たとえば、問１の（１）の場合、一般解は、y=cx+c²だから、
（２）の場合、一般解は
だから両辺をc倍してcy=c²x+1とし、
だから両辺をc倍してcy=c²x+1とし、
と特異解を求めることができる。
問４ 次の微分方程式を解け。
【解】
y=px+p²の両辺をxで微分すると、
ゆえに、p'=0またはx+3p²=0。
p'=0のとき、p=cで、一般解は
x=−3p²のとき、
この２式からpを消去すると、特異解は
（解答終）
【別解】
一般解はy=cx+c³だから
cについての３次方程式だから、その判別式=0とすると、特異解は
（別解終了）
（※）
３次方程式x³+px+q=0の判別式Dは
