第１９回 陰関数の極値

第１９回　陰関数の極値

点(x₀,y₀)を含む領域Dでf(x,y)はC¹級であるとする。陰関数定理より、ならば、x₀の近傍でf(x,y)=0で定めるC¹級の陰関数y=φ(x)がただ一つ存在し、

である。

（１）式をさらにxで微分すると、

ここで、

したがって、f(x,y)がDでC²ならば、

である。

問題１　関係式x²–2xy–y²=1で定まる陰関数についてを求めよ。

【解】

f(x,y)=x²–2xy–y²–1とおくと、 だから、

だから

（解答終）

次に、f(x,y)をC²級とし、f(x,y)=0で定まるC²級の関数y=φ(x)の極値について考えることにする。

y=φ(x)がx=x₀で極値を取るとすると、陰関数定理より

また、y=φ(x₀)で極値をとるためには、

したがって、（２）式より、x=x₀におけるd²y/dx²の値は

となる。

よって、

のときy=φ(x₀)は極小となり、

のときに極大となる。

以上のことをまとめると、次の定理になる。

定理

f(x,y)をC²級の関数とし、y=φ(x)をf(x,y)=0の定める陰関数とする。

φがx=x₀で極値y₀=φ(x₀)を取るならば、

で、

のときy₀は極大値で、のときy₀は極小値である。

問題２　3x²+2xy+2y²=15の定める陰関数yの極値を求めよ。

【解】

とおくと、

3x²+2xy+2y²–15 =0に代入すると、

だから

(x,y)=(−1,3)のとき

(x,y)=(1,−3)のとき

よって、

yは、x=−1のとき極大値3、x=1のとき極小値3をとる。

（解答終）

この程度の問題ならば、3x²+2xy+2y²=15をxに関する２次方程式と考え、２次方程式の判別式を使って解くこともできる。

【別解】

xに関する２次方程式3x²+2yx+2y²–15=0は実根を持たなければならないので、その判別式をDとすると、

y=−3のとき

同様に、y=3のときx=−1。

したがって、yは、x=−1のとき極大値3、x=1のとき極小値1を取る。

（別解終）

宿題　3x²+2xy+2y²=15で定まる陰関数yの極値を、１変数関数の微分を用いて求めよ。

この問題を自分で解くと、紹介した定理の有り難みがよく分かる！！