第４回 １階線形微分方程式の解法

第４回　１階線形微分方程式の解法

１階線形微分方程式の一般形は

で与えられる。

定数変化法を用いて、（１）の一般解を求めることにする。

まず、（１）の右辺=0の同次微分方程式の

の一般解を求めると、

が得られる。

つぎに、この任意定数c₁を関数u(x)で置き換え、（１）を満たすようにu(x)を定める。

そこで、

を（１）に代入すると、

したがって、（１）の一般解は

である。

問題１　次の微分方程式を解け。

【解】

（１）

であるが、c₁=0として一般解を求める。

公式（２）より

（２）

したがって、

よって、公式（２）より

（解答終）

問題２　次の微分方程式を解け。

【解】

（１）

（２）

だから、微分方程式

の両辺にをかける。

（解答終了）

公式（２）を用いて機械的に一般解を求めるより、問題２の（２）のように解いたほうがよいと思う。

問題３　一階線形微分方程式

の一つの特殊解がy₁であるとき、一般解は

であることを示せ。

【解】

一般解yと特殊解y₁は微分方程式（１）の解なので

①と②の両辺の差をとると、

φ=y–y₁とおくと、

この微分方程式の一般解は

よって、

（解答終了）