2017年8月20日日曜日

第18回 陰関数の種々の計算問題

第18回 陰関数の種々の計算問題


問題1 次の関係式が定めるxの関数yの第1次導関数、第2次導関数を求めよ。
【解】
(1) x²+y²=1の両辺をxで微分すると、
y≠0のとき

(2) の両辺をxで微分すると、
のとき、つまり、x+y≠0のとき、
(解答終)


問題2 曲線x²+xy+y²=3の点(1,1)における接線を求めよ。
【解】
x²+xy+y²=3の両辺をxで微分すると、
よって、x+2y≠0ならば、
(x,y)=(1,1)を代入すると、
したがって、接線の方程式は
(解答終)

f(x,y)級の関数とし、点(x₀,y₀)を曲線f(x,y)=0上の点、そして、またはであるとする。
いま仮にとすると、陰関数定理より、点x₀の近傍内にある曲線の部分は、f(x,y)=0で定まるただ1つの陰関数y=φ(x)で表される。
このとき、
が成立するので、接線の方程式は
であり、曲線上の点(x₀,y₀)における曲線f(x,y)=0の接線はただ1本である。

この結果を用いるならば、問題2は次のように解くこともできる。

【別解】
f(x,y)=x²+xy+y²–3=0とすると、
f(x,y)の点(1,1)における偏微分係数だから、曲線f(x,y)=0の曲線上の点(1,1)における接線の方程式は、(1)より、
(別解終)


問題3 次の関係式で定められる陰関数yの極値を求めよ。
【解】
x²–xy+y²=3の両辺をxで微分すると、
よって、y'=0になるのはy=2xのとき。
これをx²–xy+y²=3に代入すると、
よって、yの陰関数の極値になる点は(x,y)=(1,2)(−1,−2)
極値の判定をするために、①の両辺をxで微分すると、
極値を取る点ではy'=0だから、
したがって、
(x,y)=(1,2)のときy''=−2/3<0となり、このとき極大、
(x,y)=(−1,−2)のとき、y''=2/3>0となり、このとき極小。
以上のことより、x=1のときyは極大で極大値は2x=−1のときyは極小で極小値は−2である。
(解答終)

【別解】
xに関する2次方程式x²–yx+y²–3=0xの解は実数でなければならないから、2次方程式の判別式をDとすると、
でなければならない。
y=−2のとき
y=2のとき
よって、
x=−1のときyは極小で極小値は−2
x=1のときyは極大で極大値は2
(別解終了)

2次方程式の判別式を使わず、その元となる平方完成を用いると、
【別解2】
よって、
x=−1のときyは極小で極小値は−2
x=1のときyは極大で極大値は2
(別解終了)


0 件のコメント:

コメントを投稿