第１６回 ヤコビアン

第１６回　ヤコビアン

u=φ(x,y)、v=ψ(x,y)がC¹級であるとき、

をヤコビ行列といい、次の行列式

をヤコビアンという。

問題１　次のヤコビアンを求めよ。

【解】

（１）　だから

（２）　だから

（３）　だから

（解答終）

問題２

（１）　、のとき、

が成り立つことを示せ。

（２）　が逆に解けて、であるとき、

であることを示せ。

（３）　平面座標の座標変換のヤコビアンとを求めよ。

【解】

（１）　合成関数の微分公式（連鎖律）から

（２）　（１）でs=u、t=vになっている場合だから

（３）　だから、

（２）より

（解答終）

問題２の（３）は

を逆に

と解くことができ、

となるので、直接

と解くこともできる。

問題３　をC¹級の写像とする。

fがC¹級の逆写像をもつとき、

であることを示し、これより

であることを証明せよ。

【解】

をu、vで偏微分すると、

同様に、をu、vで偏微分すると、

したがって、

よって、

（解答終）