テーラー級数、マクローリン級数を使って

テーラー級数、マクローリン級数を使って

まずは、テーラー級数を用いる次の問題を。

問題１

をx=1のまわりのテーラー級数に展開せよ。

これを利用して、log1.1を小数３桁まで正確に求めよ。

【解】

したがって、テーラー級数は

または、剰余項を用いて

log1.1を小数点以下３桁まで求めるには剰余項を

にすればよいので

したがって、n=3にとればよい。

よって、

で、誤差は

（解答終）

電卓で自然対数log1.1を求めると

したがって、小数点以下３桁まで正確に求められており、誤差の評価も概ね正しいことがわかる。

問題２　マクローリン展開の最初の４項を用いて次の微分方程式

の近似値を求めよ。

【解】

の両辺を順次xで微分すると、

したがって、

よって、

（解答終）

問題３　次の微分方程式を解け。

【解】

この微分方程式はn=2のベルヌーイ形の微分方程式。

だから、

とおくと、

よって、

（解答終）

グラフを見ると、問題２で求めた近似解は、−0.5≦x≦0.5の範囲で厳密解とよく一致していることがわかる。

なお、