極方程式で与えられた曲線に囲まれた部分の面積

極方程式で与えられた曲線に囲まれた部分の面積

曲線が極座標r、θを用いて

で表されているとき、この方程式を曲線Cの極方程式という。

例えば、半径a（a>0）で点(a,0)を中心とする円

は、

と、極方程式で表すことができる。

また、デカルト直交座標における動点Pの座標を(x,y)とすると、

であり、

という関係がある。

定理

曲線Cがで表されていて、f(θ)が連続であるとする。このとき、曲線Cと半直線θ=α、θ=βで囲まれた部分の面積は

である。

【略証】

（証明終）

問題１　次の曲線（カージオイド）に囲まれている部分の面積を求めよ。

【解】

この曲線はx軸に関して対称なので、上半分の面積S₁を求め、それを２倍すればよい（右図参照）。

したがって、

したがって、この曲線によって囲まれる面積Sは

（解答終）

問題２　次の曲線（レムニスケート）に囲まれている部分の面積を求めよ。

【解】

この曲線はx軸、y軸に関して対称。だから、第１象限の面積を４倍すればよい。

とおくと、

は、

rが恒等的に0のときは曲線ではなく、原点になるので、

第１象限だけを考えればよいので、このとき、0≦θ≦π/2であり、また、（２）を満たさなければならないので、

よって、

したがって、

（解答終）

問題３　次の曲線（３葉線）に囲まれる部分の面積を求めよ。

【解】

とおくと、

求める面積は、第１象限でこの曲線によって囲まれる部分の面積S₁を３倍したもの。

ところで、0≦θ≦π/2で

になるのは、

したがって、

よって、

（解答終）