2017年6月24日土曜日

My Favorite Song: What Bout My Star?

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第4回 2変数関数の極限の計算例

第4回 2変数関数の極限の計算例


問題1 次の極限を求めよ。
【解】
とすると、|x|≦r、|y|≦r。したがって、r→0+0のとき、|x|→0、|y|→0になる。
(1) (x,y)≠(0,0)とする。
よって、

(2) x=ty=mtとおき、t→0として、(x,y)(0,0)に近づける。
このとき、極限値は
mの値によって、つまり、(x,y)(0,0)への近づき方によって極限値が変化するので、この極限値は存在しない。

(3)
(解答終了)

x=rcosθy=rsinθと極座標に変換して、r→0+0の極限を求める方法もある。このとき、極限値がθにかかわらず一定の値に収束すれば、その値が極限値である。

【別解】
(1)
とおき、x=rcosθy=rsinθを代入すると、

(2)
とする。
この極限はθの値によって変わるので、極限
は存在しない。

(解答終了)


問題2 次の極限を求めよ。
【解】
(1) x軸に沿って(0,0)に近づく、要するにy=0として、x→0とすると、
y軸に沿って(0,0)に近づける、要するにx=0として、y→0とすると、
この2つの極限が一致しないので、は存在しない。
(別解)
直線y=mxにそって(0,0)に近づけると
mの値によって極限値が変わるので、は存在しない。

(2) x軸にそって(0,0)に近づけると、
y軸にそって(0,0)に近づけると
よって、極限は存在しない。

(3) とおくと、
(別解)
(解答終了)