2017年8月19日土曜日

第17回 陰関数定理

第17回 陰関数定理


定義 (陰関数)
xyに関する関係式f(x,y)=0に対して、関数y=φ(x)
を満たすとき、y=φ(x)f(x,y)=0によって定まる陰関数という。

例えば、f(x,y)=x²–y²–1= 0 とする。このとき、
とすれば、
となるので、は関係式f(x,y)=x²–y²–1= 0 で定まる陰関数である。

定理 (陰関数定理)
(x₀,y₀)を含む領域でf(x,y)級とする。
ならば、点(x₀,y₀)を含む近傍でf(x,y)=0の定める級の陰関数y=φ(x)がただ1つ定まり、次の関係が成り立つ。
【証明】
とする。
関数f(x,y)級だから点(x₀,y₀)のある近傍でである。
x=x₀で固定すると、だからf(x₀,y)yに関して単調増加。
A(x₀,y₁)を近傍内の点とすると、y₁<y₀f(x₀,y₁)<0B(x₀,y₂)y₀<y₂f(x₂,y₂)>0である。
x₁≦x≦x₂において
f(x,y)は連続で単調増加だから、中間値の定理よりy₁<y<y₂となるyがただ1つ存在する。そのyの値はxの関数で、それをy=φ(x)とすればよい。

次に、y=φ(x)が連続であることを示す。α∈[x₁,x₂]β=φ(α)とし、任意のε>0に対して
とすると、
y₁≦y≦y₂のとき、だから
x=αで連続であるから、あるδ>0があって、
また、だから
よって、
となり、y=φ(x)x=αで連続である。

f(x,y)級だから平均値の定理より
となるθが存在する。
また、f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)=0だから、Δx≠0のとき
は連続だから、Δx→0のとき、
(証明終)

3変数関数についても陰関数定理が成り立つ。

定理
関数f(x,y,z)が点(a,b,c)の近傍で級ならば、点(a,b)を含む開集合D上で級の関数z=φ(x,y)
を満たすものがただ1つ存在し、
である。


問 次の問に答えよ。
(1) 点(1/√2,−1/√2)の近傍で、関係式x²+y²=1で定まる陰関数yを求めよ。
(2) 点(1,0)の近傍で、関係式x²+y²=1で定まる陰関数を求めよ。
【解】
(1) f(x,y)=x²+y²–1=0とおくと
よって、
となり、陰関数定理より、点(1/√2,−1/√2)の近傍で 関係式x²+y²=1で定まる陰関数y=φ(x)が存在する。
とすると、
となり不適。
とすると、
よって、

(2) 点(1,0)における偏微分係数は
だから、陰関数定理により点(1,0)の近傍で 関係式x²+y²=1で定まる陰関数x=φ(y)が存在する。
x²+y²=1xについて解くと
(x,y)=(1,0)を満たすのはだから、これが点(1,0)の近傍で関係式x²+y²=1で定まる陰関数である。
(解答終)