2016年11月29日火曜日

My Favorite Song: あいむそーりーEXODUS~おっさん技術者応援歌 ver ~

 あいむそーりーEXODUS~おっさん技術者応援歌 ver ~



包絡線

包絡線のアニメーション



x軸、y軸によって切り取られる長さがaで一定である直線群の包絡線はアステロイド





αをパラメータとする曲線群f(x,y,α)=0のすべての曲線――上の場合、両軸に一定の長さ切り取られる直線――にただ1点だけ接する曲線を包絡線という。

アステロイドは、この直線(曲線)のすべてに1点だけ接している。
つまり、アステロイドは、この曲線群の包絡線である。


定円上の定点からでる弦を直径とする円群の包絡線はカージオイド(cardiod)。
下のアニメーションでは、定円をとし、定点を原点Oとしている。


ちなみに、原点Oはカージオイドの尖点である。



直線と両座標軸とで囲む部分の面積が一定である直線群の包絡線は直角双曲線である。







の包絡線



2016年11月23日水曜日

My Favorite Song : Tell your world

My Favorite Song : Tell your world



'Tell your world' sung by Himawari




'Shake it!' sung by Himawari



拡散方程式の安定性のスプレッドシート

拡散方程式の安定性のスプレッドシート


ウェブ版
https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vR6YhCyw38iquMOWqFesS1KGuSufYYDZ9ej7BhgL4kZ8FE1CPFcKpHhUuBncfHkwB63yz5nF2L7EPiJ/pubhtml

ダウンロード(エクセル用)
https://docs.google.com/spreadsheets/d/e/2PACX-1vR6YhCyw38iquMOWqFesS1KGuSufYYDZ9ej7BhgL4kZ8FE1CPFcKpHhUuBncfHkwB63yz5nF2L7EPiJ/pub?output=xlsx


Δt、Δκのところを数値をかえて数値実験してください。
ここを変えるだけで、あとは自動的に計算するようになっています。

ネムネコが作るんだケロよ、そのへんは抜かりないケロよ。よく出来ているんだケロよ、このスプレッドシート。
Δxを変えてもいいですが、境界条件などが変わってしまいますから、その点は注意してください。



このピンクの部分だからね。

この部分、例えば、ΔtのM2セルの値を0.25から0.3に変えると、次のようにこの値ですべて自動で計算してくれる。



よく出来ているんだケロよ、このスプレッドシート(^^)





2016年11月16日水曜日

My Favorite Song: Ikeda Ayako "Prism"

My Favorite Song:  Ikeda Ayako "Prism"




アニメーションのテスト

数学のgifアニメーションのテストです。





一応、説明すると、点Aはx軸上を(一定速度で)運動する点で、点BはAB=3を保ちながらy軸上を移動する点。で、そしてはABの中点。
このとき、Cの軌跡は半径AB/2の半円になる。
何故ならば、△OABは直角三角形だから、斜辺ABの中点CとOとの距離は、A、Bの位置に関わらず、一定で、その長さはAB/2だから。
そして、このアニメーションは、その図形的、作図的な証明。

またAは一定の速度なのに、Bの速度はその位置によって変化する。
点Bは、原点O近くで、えらく速く動いている。

これは以下の理由による。


Aの座標を(x,0)、点Bの座標を(0,y)とすると、AB=3だから
これを時刻tで微分すると、
dx/dtは点Aの移動速度だから一定。xは−a≦x≦aでやはり有限。
したがって、y=0のとき、点Bの速さは∞になるにゃ。
だから、Bが原点から離れるとき、または、原点に達するとき、点Bが瞬間移動しているように見えるのは、当然なんだケロ。

数学の理論通り!!


さらに言うと、この点Bの速さは光の速度を越えていて、物理学の特殊相対性理論と矛盾する。

さてさて、この矛盾を物理学ではどう解決すると思う?
考えて味噌!!

わかるケロか?

2016年11月14日月曜日

中点公式と台形公式の精度比較

中点公式と台形公式の精度比較
















等間隔に分割されている場合、
だから、

プログラムのデフォルト設定は
[0,1]の分割数nを増やすとどうなるか、この計算の場合、どちらのほうが精度がいいのかを確かめて欲しい。

My Favorite Song : ぬえせい戦争

My Favorite Song : ぬえせい戦争





2016年11月3日木曜日

第7回 微分

第7回 微分


微分です。
微分をどう定義したらいいのか、どう説明したらいいのかがわからず、弱ってます。

微分の定義?
yf(x)という関数があり、xa
が存在するとき、fはxaで微分可能といい、
と書き、f'(a)を関数fxaの微分係数(微分商)という。

このとき、xa+hとかくと、hx-aとなりますので、①式は
と書くことができますにゃ。
x→aのときh→0になのは、わかりますよね?

また、この時、
とすれば、
と書くこともできます。

①~③は、どれも微分(係数)の定義です。

ですから、好きなものを微分の定義に選んでください。

今、話しているのは、あくまでxaという一点での微分可能性の話です。これ以外の点で微分可能かどうかはまた別の話です。

もし、xの至る点で関数fが微分可能であれば、
となって、このf'(x)を導関数と呼びます。
このf'(x)y'と書く場合もあります。
記号的に便利なのは、なのですが、これですと、一点の微分なのか、導関数なのかがわかりにくいという欠点がありますにゃ。そこで、
という少々無理な書き方をしたりしますにゃ。
問題に合わせて、①~③のどれかを使います。

では、例題を幾つか・・・。

例題1
を求めよ。

解答(怪答?)

(1)、(2)、(3)はそれぞれの場合のxaの微分係数ですにゃ。
ちなみに、

勘のいい人はといったような法則性があることに気付かれるんじゃないですか。

では、n0の時は、どうなりますか?
だから、
で、どうやら成り立っているようです。

であるならば、
が成り立ちそうです。
(3)と一致しています。

αが自然数の時は、二項定理や「微分の積の公式と数学帰納法」などを用いて証明します。

【証明】
微分の積の公式
を使いますと、
仮定 
(Ⅰ) n1のとき、なので、仮定は成立する。
(Ⅱ) nkのとき、が成立すると仮定すると
nk+1のとき、
となり、仮定が成立する。
よって、

④が成り立つのは、次回、証明します。
⑤は微分をするときに使う最も重要な公式です。これだけは、絶対に憶えてほしいですにゃ。

nが負の整数の場合は、・・・。
f(x)0でないならば、
で、
と置くと、となるから、
成立する。
(証明終了)

ちなみに、ここで、
を使っています。
これは何を意味するかといいますと、fがxで連続であるということ。ということは、微分できるためには、関数が連続である必要がある!!

αが自然数や整数でない場合の証明は、合成関数の微分と対数微分法を説明してからかな。


問題
x0で微分可能か
【解答】
一方、x > 0では
ゆえに、
x0で左側極限(左側微分係数)と右側極限(右側微分係数)が異なるので、微分可能でない。
(解答終了)

このことから、関数が連続であることは、微分可能であるための十分条件ではないことがわかります。
同時に、微分可能であることは、
であることからわかります。

ちなみに、x0以外では微分可能です。

今回は、
を使って、微分を説明しましたが、
次回は
を使って説明します。

ですから、これに慣れてもらうために、
②の定義に従って、を微分してみます。

ですが、f(x)=x²を微分するとき、わざわざ定義にしたがって計算をする必要はない。
という公式を使って、
として計算してください。
f(x)=x³ならば、
ですから、

ところで、
fがxaで微分可能であるとき、
は幾つになるでしょう?
これは、


実は、
は数値計算をするとき、結構重要なもので、微分の近似計算によく使われます。
つまり、
ですね。

f(x)=x²のとき、

x1の微分係数の近似値を、h0.10.01として求めると、精度の差に愕然としますよ。
誤差風に書くと、
対して、
つまり、誤差の程度がh2乗オーダーとhの1乗オーダーで異なるということを表わしています。
この差は非常に大きい!!
a1h0.1で計算すると、誤差は0.010.31なので30倍も違う!!