2016年9月29日木曜日

第2回 数列の極限


高校数学などは、数列の極限は次のように定義される。

数列において、番号n を限りなく大きくするとき、がある定数a に限りなく近づくのであれば、これを
という記号で表わし、この場合、数列a 収束するという。また、a を数列極限値という。

しかし、「限りなく大きくする」や「限りなく近づく」という表現は、あまりに曖昧すぎる。
だから、次の定義を採用することにする。

数列に対し次の条件を満たすa ∈ R が存在するとき、数列は収束するという。
任意のε > 0 に対してある自然数mが存在して、n ≧ m を満たす任意のn ∈ N に対してである。
このときa を数列の極限値という。
また、収束数列という。収束数列でない数列を発散数列という。

論理記号で書くと
とかく。

たとえば
という数列があった場合、
になる。
ε = 0.1だったら、
になるので、
n ≧ m = 11 にすればいい。ε = 0.01 ならば、n ≧ m = 101 といった具合にすればいい。m 11 101 にしているけれど、これは別に12 でも 123 でも構わない。
ε
を与えると、それによってmの値が決まり、n ≧ m のすべてのn に対して
が成立するというのがミソ。
このことを明示するために、
と書くこともある。

しかし、
という一般項で表される数列に対して、
ε = 2 として、すべての自然数n に対して
なるので、この数列の極限値は1としてはいけない。
εε > 0 任意の実数だから、0.10.01といった値でも成立しないといけない。
ちなみに、この数列に極限値は存在しないケロ。
となるので。


定理1 (極限値の一意性)
数列の極限は、存在すれば、ただ一つである。

【証明】
a と異なるb (b > a)という極限値が存在すると仮定する。
すると、極限の定義より
になるにゃ。
だから、n ≧ m ならば
εは任意の正の実数なので、ε = (b–a)/2 とすると、
②より
そして、③より
となり、
となってしまう
これは矛盾である。
a > bの時も同様。
よって、極限値はただ1つである。

なお、細かいところまで気になる人は、
①を
として、
とすればよい。
ここで、記号max{x,y}は、xyで小さくない方の値を表わす。

この説明は、次回、
の証明の時に詳しく説明する。


問題 次のことを証明せよ。
【略解】
になる。
で、三角不等式より
になるので、
である。
(解答終わり)


宿題 次のことを証明せよ。
かつ
ならば、a ≧ 0 である。
【ヒント】
a < 0 と仮定し、ε = –a/2 とすると、


My Favorite Song:境界の彼方

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2016年9月28日水曜日

最大最小の問題

最大最小の問題


定理 連続な関数の最大、最小値の定理
閉区間[a,b]で連続な関数f(x)は、必ず、最大値と最小値をもつ。

関数f(x)が最大・最小になる点の候補は、極値をとる点、区間の両端、そして、微分可能でない点など。特に、区間の両端に注意!!

問題1
(1) 1≦x≦3のとき、関数
の最大値、最小値を求めよ。

(2) 0<x<πのとき、関数
の最小値を求めよ。
【解】
(1)


増減表をかくと
x
1

2

3
f'(x)


+
0



f(x)
1
増加
極大
減少
9/10

x=√2のときに最大値f(√2)=6(3−2√2)
x=3のときに最小値9/10

(2)

増減表を書くと

x
0

π/3

π
y'



0



y


減少
極小 √3
増加



x=π/3のとき、最小値√3

(解答終了)

問題2 x>0のとき
の最小値を求めたい。
(1) とおき、Ptの関数として表しなさい。
(2) その結果を用いてPの最小値ならびにそのときのxの値を求めなさい。
【解】
の分母・分子をで割ると
で、
よって、
x>0のとき、相加平均≧相乗平均より
したがって、

(2)
これをtで微分すると、
 
したがって、Pは単調増加。
よって、t=2のとき最小で、最小値3/2
の解は1だから、
x=1のとき、Pは最小で、最小値は3/2である。
(解答終了)

ちなみに、
のグラフは右図の通り。


問題3 関数
について、次の問に答えよ。
(1) sinx=tとおいて、ytの式で表せ。
(2) yを最大にするxの値はいくらか。
【解】
(1)
 
だから、

(2)
増減表を書くと、

x
1

1/2

1
y'



0



y
-7
増加
極大 13/2
減少
1

よって、x=1/2のときに、yは最大になる。
を解くと

(解答終了)

問題2、問題3のように、変数を変換することによって、最大・最小値を求めることが楽になる場合がある。ただし、問題2、

3のように変数の範囲、定義域が変化することに注意が必要。


問題4 第1象限の定点P(a,b)を通る直線と両軸の正の部分との交点をABとするとき、△OABの面積の最小値を求めよ。ただし、Oは原点とする。
【解】
定点P(a,b)をとおる直線の傾きをmm<0)とすると、この直線の方程式は
したがって、Ax座標は
By座標は
よって、△OABの面積S
ここで、
とおき、mで微分すると、
したがって、f(m)
のとき、極大。
したがって、Sはこの時に極小、最小になる(f(m)Sは正負が逆転しているから)。
このとき、x=2ay=2bとなり、最小値は
また、このとき、PA(2a,0)B(0,2b)の中点である。
(解答終了)

こう解いたものの、この解答は直観的に良くないね。

相似を使って、解くことにする。

【別解】
ABの座標をそれぞれ(x,0)(0,y)とし、P(a,b)からx軸におろした垂線の足をHとする。
AHP∽△AOBだから
したがって、△OABの面積S
これをxで微分すると、
したがって、x=2aのとき、極大かつ最大になる。
よって、面積の最大値は
このとき、y=2bだから、点P(a,b)A(2a,0)B(0,2b)の中点である。
【解答終了】

解答のわかりやすさで雲泥の差があるようだ。
悪い解答例として、問題3の【解】は、そのまま残しておくことにする。