第３４回 定積分の定義とその性質

第３４回　定積分の定義とその性質

§１　定積分の定義

f(x)は有界な閉区間[a,b]で定義されている有界な関数である。

分割

に対し、次の和（リーマン和）を考える。

任意の分割Δに関して、であるの選び方によらず、

となる実数Sが存在するとき、f(x)は[a,b]で（リーマン）積分可能であるといい、

で表す。

すなわち、

ここで、はの最大値で、分割の幅である。

また、

a<bのとき、

と定義する。

さらに、a=bのとき、すなわち、

と定義する。

例１　cを定数とするとき、

は、[a,b]で積分可能で、

何故ならば、

である全ての分割に関して、であるの選び方に関わらず、

例２　は[a,b]で積分可能で、

である。

任意の分割Δに関して、

に取ると、

また、任意のに対して、

したがって、

例３　a<c<bとし、

とすると、f(x)は[a,b]で積分可能で、

分割

で、点cを含む区間の数が最も多くなるのは、となる自然数kが存在するときで、このとき、

任意のに対して、

例４

は、[a,b]で（リーマン）積分可能でない。

何故ならば、に無理数の点をとれば、

有理数の点をとれば、

となるので。

§２　定積分の基本的な性質

定理１　有界閉区間I=[a,b]上でf(x)、g(x)は積分可能で、λ、μを定数とするとき、はI上で積分可能で

【証明】

分割Δ、を任意にとると、

したがって、はI上で積分可能で、

（証明終）

定理２　関数f(x)、g(x)はI=[a,b]上で積分可能とする。

ならば、

特に、

【証明】

Iの分割Δ、を任意にとると、仮定より

したがって、

｜Δ｜→0とすると、

（証明終）

（注）　例２から、

は、一般に成り立たないことがわかる。

次の２つの定理の証明は、すこし、厄介なので、定理だけをあげる。

定理３　f(x)は[a,b]で積分可能ならば、

定理４　f(x)が[a,b]で単調または連続であれば、f(x)は[a,b]で積分可能である。

定理５　f(x)、g(x)が[a,b]で連続ならば、

は、[a,b]で積分可能である。

【略証】

f(x)、g(x)が[a,b]で連続ならば、は[a,b]で連続。したがって、定理４より、積分可能である。

（略証終）

問１　f(x)、g(x)は[a,b]で連続な関数とする。

このとき、

は[a,b]で積分可能であることを示せ。

【解】

f(x)、g(x)が[a,b]で連続だから、も[a,b]で連続。

したがって、は[a,b]で積分可能である。

（解答終）

定理６

f(x)は[a,b]で連続とする。任意のx∈[a,b]についてf(x)≧0、かつ、ならば、f(x)≡0である。

【証明】

f(c)>0であるcがa<c<bに存在すると、f(x)は連続なので、十分ちいさなδ>0を選ぶと、

とすることができる。

となり矛盾。

よって、f(x)≡0。

（証明終）

問２　f(x)、g(x)は[a,b]で連続である。[a,b]でf(x)≧g(x)かつならば、f=gであることを示せ。

【解」

h(x)=f(x)−g(x)とおくと、h(x)は[a,b]で連続なので、h(x)は[a,b]で積分可能。

また、[a,b]でh(x)≧0で、かつ、

したがって、定理６よりh(x)は[a,b]で恒等的にh(x)=0。

ゆえに、f=g。

（解答終）

定理７（積分の三角不等式）

f(x)が[a,b]で連続ならば、

【証明】

f(x)は[a,b]で連続なので、f(x)と｜f(x)｜は[a,b]で積分可能。

分割Δ、を任意に取ると、

したがって、

（証明終）

【別証」

だから

（別証終）