第３２回 三角関数の積分
三角関数の積分には幾つかのタイプがある。
まずは、もっとも基本的な、三角関数の倍角公式と積和公式を用いるタイプ。
倍角公式
三角関数の積和公式
問１ 次の不定積分を求めよ。
【解】
（解答終）
次に、
のように、不定積分が
の形で表される場合。
前者の場合、t=sinxとおくと、dt=cosxdxとなるので、
後者の場合、t=cosxとおくと、−dt=sinxdxとなるので、
と、不定積分を求めることができる。
問２ 次の不当積分を求めよ。
【解】
（１） t=sinxとおくと、cosxdx
= dtだから、
（２） t=cosxとおくと、sinxdx=−dtだから、
（３） 被積分関数の分母分子に1+sinxを掛けると、
右辺第１項の不定積分は
右辺第２項の不定積分は、t=cosxとおくと、sinxdx=−dtとなるので、
したがって、
（４） 被積分関数の分子分母に1+sinxを掛けると、
t=sinxとおくと、cosx=dtだから、
よって、
（解答終）
タイプ３
の場合は、
t=tanxとおくと、
問 次の不定積分を求めよ。
【解】
t=tanxとおくと、
したがって、
（解答終）
タイプ４
より一般の
の場合は、
の場合は、
とおくと、
したがって、倍角公式（半角公式？）から
また、x=2tan⁻¹tだから、
以上のことから、
とおいたとき、
問 次の不定積分を求めよ。
【解】
とおくと、
（解答終）
（２）
（３）
（４）
（解答終）
a>1とする。
ここで、
とおくと
だから、
