第１回 ２×２の行列の演算１

第１回　２×２の行列の演算１

A、Bを２行２列の行列で、

　　

とする。

以下、特に断りがない場合、２行２列の行列を行列と呼ぶことにする。

行列の相等

A=Bは、対応する成分がすべて等しいこと、すなわち、

　　

である。

行列の実数倍

　　

A=1×A、。また、−A=(−1)×Aと定義する。

行列の和と差

AとBの和と差を

　　

と定義する。

零行列O

行列の成分のすべてが０である行列を零行列といい、記号Oで表す。

すなわち、

　　

である。

　　

また、

　　

が成り立つ。

行列の演算法則１

A、B、Cを行列、hとkを実数とする。このとき、次のことが成り立つ。

　

これらは、定義からこれらはほとんど明らかだが、証明することにする。

（ⅰ）の証明

　　

（ⅱ）の証明

とすると、

　　

（ⅲ）の証明

　　

（ⅳ）の証明

　　

（ⅴ）の証明

　　

(A+B)+C=A+(B+C)と右辺と左辺の値が等しいので、これをA+B+Cと書くことができる。

同様に、(hk)A=h(kA)と右辺と左辺の値が等しいので、これをhkAと書くことができる。

このことから、行列の等号、和と差、行列と実数の積については、数の演算と同じような演算法則が成り立っていることがわかる。したがって、行列を含む等式は、今まで数式同様な変形が許される。

A、B、Cを行列とするとき、次のことが成り立つ。

　

問題　XとYがともに２×２の行列で、

　　

であるとき、XとYを求めよ。

【解】

とおくと、

　　

②を２倍し、①の辺々を引くと、

　　

また、②より

　　

（解答終）

【別解】

②より、

　　

これを①に代入すると、

　　

以下、省略

（別解終）