第２５回 ランダウの記号と漸近展開

第２５回　ランダウの記号と漸近展開

§１　無限小、無限大

aを実数、または、±∞とする。

ならば、x→aでf(x)は無限小であるという。

ならば無限大であるという。

関数f(x)、g(x)が点aにおいて無限小のとき、

であるという。

f(x)とが同位の無限小であるとき、f(x)はg(x)のα位の無限小といい、αを位数という。

例１

だから、sinxとxは同位の無限小で、1−cosxはx²無限小でxの２位の無限小である。

また

だから1−cosxはxより低位の無限小である。

関数f(x)、g(x)が点aにおいて無限大のとき、

であるという。

問１　x→0のとき、次の無限小を小さい順にならべよ。

【解】

だから、xとsin xは同位の無限小。

これは∞/∞の極限だから、ロピタルの定理より

よって、x²log｜x｜はxより高位の無限小である。

（解答終）

§２　ランダウの記号

x→aのときにf(x)、g(x)の比f(x)/g(x)が有界にとどまるならば、すなわち、ある定数Mがあって、点aの近傍の任意の点x（≠a）について

ならば、このことを

で表す。

特に、が0でない極限値をもてば、である。

また、

のとき、

で表す。

このΟやοをランダウのビッグオー、ランダウノスモールオーと呼ぶ。（実は、Οとοはギリシア文字であるオミクロンの大文字、小文字！！）

例２

だから、

である。

例３　のとき、

だから、

である。

というか、これは定義。

例４　

だから、

f(x)、g(x)、φ(x)、Ψ(x)は点aの近傍で定義された関数で、x→aのときψ(x)=o(g(x))であり、

であるとする。

このとき、ψ(x)はo(g(x))であるすべての関数を代表していると考えられるので、o(g(x))をあたかも関数のように

と表すことがある。

同様に、

のとき、

と表す。

さらに、f(x)、g(x)、h(x)が点aの近傍で定義された関数で、x→aのときφ(x)=o(g(x))、ψ(x)=o(h(x))であり、

であるとき、

また、

であるとき、

と表す。

§３　ランダウの記号の性質

定理　（ランダウ記号の演算）

m、nを正数とする。x→0のとき、次のことが成り立つ。

【略証】

（略証終）

§４　漸近展開

定理　（漸近展開）

f(x)は、0を含む区間Iで級とする。このとき、

［証明］

マクローリン（テーラー）の定理より、関数fは、任意の点x∈Iで、

であるθが存在する。

よって、

ここで、

とおく。

x→0のときθx→0で、fは級だから

よって、

である。

したがって、

（証明終）

以下に代表的な関数の漸近展開を示す。

ここで、

である。