第７回 全微分

第７回　全微分

関数f(x,y)が点(a,b)の近傍で、ある定数α、βによって

と表されるとき、fは点(a,b)で全微分可能（微分可能）であるという。ここで、

である。

f(x,y)が点(a,b)で全微分可能なとき、(h,k)≠(0,0)とすると、(1)式より

となるので、f(x,y)は点(a,b)で連続である。

また、k=0のときρ=｜h｜となり、

同様に、h=0のとき、ρ=｜k｜となり、

以上のことから、次の定理が得られる。

定理８

関数f(x,y)が点(a,b)で（全）微分可能ならば、f(x,y)は点(a,b)で連続であり、かつ偏微分可能で、

である。

また、h=ρcosθ、k=rsinθとおくと、

となり、この極限値をθ方向に沿っての方向微分係数という。

定義

領域Dで定義されている関数f(x,y)がD上のすべての点で（全）微分可能なとき、f(x,y)はD上で（全）微分可能であるといい、

をf(x,y)の全微分という。

dx=Δx、dy=Δyだから、（２）式は

と書くこともできる。

定義　（曲面z=f(x,y)の接平面）

関数f(x,y)は点(a,b)で（全）微分可能とする。このとき、平面

を曲面z=f(x,y)の点((a,b),f(a,b))における接平面という。

問　曲線

上の点((a,b),f(a,b))における接平面の方程式を求めよ。

【解】

よって、

とおくと、

である。

（解答終）

原点を中心とする半径rの球面と球面上の点(a,b,c)で接する平面の方程式は、

だから、問で求めた接平面の方程式と一致していることがわかると思う。

定理９

関数f(x,y)がC¹級ならば、f(x,y)は全微分可能である。

【証明】

と置くと、平均値の定理より

は連続だから、

とおくと、h→0、k→0のときε₁→0。

同様に、は連続だから、

とおくと、k→0のときε₂→0。

ゆえに、

とおくと、｜h｜≦ρ、｜k｜≦ρだから、

（証明終）

問題　関数は(0,0)で偏微分可能であるが、全微分可能でないことを示せ。

【解】

だから、(0,0)で偏微分可能である。

このとき、が0に収束すれば全微分可能で、しなければ全微分不可能である。そこで、h=t、k=tとして、t→0の極限を求めると、

よって、全微分可能でない。

（解答終了）