第８回 全微分に関する問題

第８回　全微分に関する問題

問題１　次の問に答えよ。

（１）　の全微分を求めよ。

（２）　x、yの関数f、gに関して次のことが成り立つことを示せ。

【解】

（１）

（２）

（解答終了）

問題２　次の問に答えよ。

（１）　２辺がa、bである長方形の面積をSとする。a、bがそれぞれΔa、Δb変化したときの面積の変化量をΔSとすると、ΔS=bΔa+aΔbであることを示せ。

（２）　△ABCが定円に内接しながら微小変化したとき、３辺a、b、cの変化量をΔa、Δb、Δcとすると

が成り立つことを示せ。

【解】

（１）　S=abの全微分は

微小な変化だからΔS≒dS。

よって、ΔS=bΔa+aΔbである。

（別解）

ΔaΔbは、bΔaとaΔbより高次の微小項だから、｜Δa｜≪1、｜Δb｜≪1のとき無視することができる。

したがって、ΔS=bΔa+aΔb

（２）　定円の半径をRとすると、正弦定理より

したがって、

同様に、

よって、

da=Δa、db=Δb、dc=Δcだから

（解答終了）

問題２のように、全微分は誤差の評価に応用が可能な場合がある。

問題３　次の関数は原点(0,0)で微分可能か。

【解】

（１）　(x,y)=(0,0)における偏微分係数を求めると、

だから、

(h,k)→(0,0)のとき、

であれば、f(x,y)は(0,0)で微分可能、そうでなければ(0,0)で微分可能でない。

h=t、y=tとき、t→0として(h,k)を(0,0)に近づけると、

したがって、f(x,y)は(0,0)で微分可能ではない。

（２）

(x,y)=(0,0)における偏微分係数を求めると、

だから、

とおくと、｜h｜≦r、｜k｜≦rだから、

したがって、f(x,y)は(0,0)で微分可能である。

（解答終了）

ちなみに、問題３の関数f(x,y)はいずれも(0,0)で微分可能である。

また、（１）のf(x,y)の、(0,0)におけるθ方向の方向微分係数を求めると、

原点における方向微分係数がθの値によって変化し、１つの値に定まらないので、f(x,y)は(0,0)で微分可能ではない。

同様に、（２）の場合の方向微分係数を求めると、

となり、θの値にかかわらず１つの値に定まるので、f(x,y)は(0,0)で微分可能ということになる。