第１４回 ２変数関数の極値

第１４回　２変数関数の極値

極値

(a,b)を関数f(x,y)の定義域内の点とする。点(a,b)を含まない点(a,b)の近傍内の全ての点に対して、

（１）　f(x,y)<f(a,b)が成り立つとき、関数f(x,y)は点(a,b)で極小になるといい、その値f(a,b)を極大値という。

（２）　f'(a,b)<f(x,y)が成り立つとき、 関数f(x,y)は点(a,b)で極大になるといい、その値f(a,b)を極小値という

定理１５

関数f(x,y)が偏微分可能なとき、点(a,b)で極値を取るならば

である。

【証明】

y=bと固定し、φ(x)=f(x,b)とおくと、φ(x)は点aで極値をとるのでφ’(a)=0である。よって、である。

も同様。

（証明終）

停留点

f(x,y)が偏微分可能のとき、である点を停留点という。

例１　f(x,y)=x²+y²とすると、

したがって、f(x,y)は点(0,0)で極小で、0が極小値。

また、このとき、だからで定理を満たしていることがわかる。

問　f(x,y)=x²–xy+y²の極値を求めよ。

【解】

したがって、f(x,y)は点(0,0)で極小、極小値は0。

（解答終）

上の問の関数f(x,y)=x–xy+y²は偏微分可能だから、定理より、極値を取る点で

にならなければならない。これを解くと(x,y)=(0,0)となり、を満たしていることがわかる。

f(x,y)=x²–y³があるとする。このとき、だから、(0,0)でとなり停留点であるが、f(x,y)は点(0,0)で極値を取らない。何故ならば、r>0とすると、f(0,r)= –r³<0、f(0,–r )=–r ³>0となり、点(0,0)を含まない点(0,0)の近傍内の任意の点でf(x,y)<f(0,0)でもf(x,y)>f(0,0)でもないからである。

このことから、という条件は、f(x,y)が点(a,b)で極値を取るために必要な条件に過ぎないことが理解できるだろう。

定理１６　（極値の判別式）

f(x,y)は領域DでC²級の関数とする。(a,b)をf(x,y)の停留点とし

とおくとき、次のことが成り立つ。

（ⅰ）　D>0のとき

ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小、

ならば、f(x,y)は点(a,b)で極大となる。

（ⅱ）　D<0のとき、f(x,y)は点(a,b)で極大でも極小でもない。

（ⅲ）　D=0のとき、２階の偏微分係数だけからは判定できない。

【証明】

２変数のテーラーの定理より

(a,b)は停留点だから、であるから、

ここで、

とおくと、

となる。

のとき、f(x,y)はC²級だから、(h,k)≠(0,0)で｜h｜と｜k｜が小さいとき、になるから、 となり、f(a,b)は極小値になる。

のとき、同様に、になり、 となり、f(a,b)は極大値になる。

のとき、ならばにできるが、h=rcosθ,k=rsinθとおくと、cosθ≠0のとき、

−∞<tanθ<∞だから、Δzはθの値によって正にも負にもなり、したがって、このとき極大でも極小でもない。

（証明終）

D=AC–B²<0の場合の証明は胡散臭い気もするが、これでよしとしよう(^^ゞ

この定理を使うと、例１のf(x,y)=x²+y²の場合、となり、D>0でより点(0,0)で極小と判定できる。

例２の場合はだから、でより、点(0,0)で極小と判定できる。

f(x,y)=x²–y³の場合、 だから、D=0となり、停留点(0,0)における２階の偏微分係数を用いた判定は出来ず、別の方法で極値かいなかの判定を行わなければならない。

ところで、f(x,y)がC²級であるとき、判別式Dは、行列式を使って

と書くことができる。

この行列式

を、関数f(x,y)のヘッシアンといい、記号H(x,y)で表す。

この行列式の元の行列

をヘッセ行列という。

f(x,y)がC²級のとき、だから、ヘッセ行列は対称行列で

である。