第１３回　高階の全微分と２変数のテーラーの定理

§１　高階の全微分

z=f(x,y)の第一階の全微分

において、が微分可能ならば、x、yに関するdzの全微分d²zを得る。すなわち、h=dx、k=dyとおけば、

同様に、

一般に

となる。

これを

と略記するとよい。

§２　２変数関数のテーラーの定理

定理１４　（２変数関数のテーラーの定理）

z=f(x,y)が点(a,b)の近傍で級であるならば、この近傍内にある(a+h,a+k)において

ここで、

である。

【証明】

とおくと、F(t)は級の関数だから、１変数のテーラーの定理より

ここで、x=a+ht、y=b+ktとおくと、合成関数の微分法から

したがって、証明すべきことは

である。

n=1のときは成立する。

n=m–1まで成り立つとすると、

よって、証明された。

（証明終了）

特に、n=2のとき、