第９回 高階偏導関数

第９回　高階偏導関数

領域D上で定義された偏微分可能な関数f(x,y)の導関数がDで偏微分可能のとき、f(x,y)は２回偏微分可能であるといい、fの第２次偏導関数を

と定義する。

（注）

と順序が違うことに注意が必要。

問１　次の第２次偏導関数を求めよ。

【解】

（１）　z=f(x,y)=x³+xy²+y⁴とおくと、だから、

（２）　z=f(x,y)=sin(xy)とおくと、だから、

（解答終了）

領域D上で定義された関数f(x,y)が第n次導関数を持ち、それらがDで連続であるとき、fはn回連続微分可能または級であるという。任意のn∈Nに対して級である関数を無限回連続微分可能または級という。

定理１０

関数f(x,y)がC²ならば、が成り立つ。

【証明】

とおき、平均値の定理を用いると

同様に、

従って、

fはC²級だから２次偏導関数は連続で、(h,k)→(0,0)のとき、

になる。

（証明終了）

問１の（１）、（２）ともにになっているのは偶然ではなく、f(x,y)がC²級だからである。また、C²級ならば、が成立するので、片方だけを計算すればよい。

問題１　２回偏微分可能な関数f(x,y)に

を対応させる写像を

であらわし、ラプラス微分作用素またはラプラシアンという。Δf=0をラプラスの微分方程式、その解を調和関数という。

次の関数z=f(x,y)が調和関数であるかどうか調べよ。

【解】

（１）　より

よって、調和関数である。

（２）　より

だから、調和関数ではない。

（３）　より

よって、調和関数である。

（解答終了）

問題２　f(x,y)をR²の開区間(a,b)×(c,d)で定義された関数とする。次のことを証明せよ。

（１）　fがxで偏微分可能でならば、fはyだけの関数である。

（２）　ならば、fは定数である。

（３）　かつが連続ならば、fはxだけの関数とyだけの関数の和である。

【証明】

（１）　yを固定すると、xだけの関数g(x)=f(x,y)は(a,b)上でだから定数である。この定数をφ(y)とおくと、f(x,y)=φ(y)である。

（２）　だから（１）よりf(x,y)=φ(y)。

よって、

したがって、φ(y)は定数である。

（３）　だから、はxだけの関数h(x)に等しい。

x₀∈(a,b)の定点とする。

はxについて連続だから

ここで、

とおけば、

（証明終了）

（注）

(a,b)×(c,d)は開区間(a,b)と開区間(c,d)の直積のことで

である。

また、は、Dのすべての点(x,y)での意味で、「fが定数」とはDのすべての点(x,y)でf(x,y)=定数、つまり、関数fが定数関数であることを表す。

「関数f(x,y)=定数」ではなく、「関数f=定数」と書く方が正式！！