第２４回 テーラー展開

第２４回　テーラー展開

定理　（テーラーの定理）

f(x)がa、bを含む区間Iでn回微分可能ならば、aとbの間の適当なcを選べば

が成り立つ。

【証明】

とし、F(a)=f(b)となるように定数Kを定める。

すると、F(a)=F(b)=f(b)となり、F(x)はロールの定理の条件を満たす。

F(x)を微分すると、

したがって、ロールの定理より

を満たすcがaとbの間に存在し、b≠cだから

である。

ゆえに、

（証明終）

n=1とすると、平均値の定理が得られる。

また、

b=x、とおき、（１）を書き換えると、

ここで、はラグランジュの剰余項である。

関数f(x)が級ならば、すべてのnについて（２）が成り立つ。よって、

となる点では、

となる。この級数をf(x)のx=aまわりのテーラー級数という。

特に、a=0としたときのテーラー級数

をマクローリン級数という。

問１　次の関数をマクローリン展開せよ。

【解】

（１）　のn次導関数は

だから、

（２）　のn次導関数は

だから、

（３）　とおくと、

だから、

（解答終）

であることに注意。

ここで、さり気なく、のマクローリン級数の収束の証明をせずに、次の公式を提示する。

無限級数、べき級数のところで、無限級数の収束判定法を紹介するので、それまで保留ということで。

問２　次の関数をマクローリン展開せよ。

【解】

（１）　f(x)=sin xのn次導関数は

だから、

したがって、

（２）　f(x)=cos xのn次導関数は

だから、

よって、

（解答終）

（注意）

sin x、cos xのマクローリン展開については

とするものもあるので注意。

問２の（１）、（２）の剰余項に注目すると、それぞれ、

なので、マクローリン級数は収束し、