第２９回 置換積分
定理
関数f(x)は区間Iで連続とする。関数x=φ(t)が区間JでC¹級で、φ(J)⊂Jならば
が成り立つ。
例
t=x²+xとおくと、
したがって、
などと計算するのが正式なのでしょうが、
とし、
と計算したほうがよい。
問１ (F(x))'=f(x)ならば
【解】
ax+b=tとおくと、
したがって、
（解答終）
問１から、a≠0のとき
問２ 次の等式が成り立つことを示せ。
【解】
t=f(x)とおくと、
したがって、
（解答終）
問３ 次の不定積分を求めよ。
【解】
（１）
だから、問１より
（２）
（３）
（解答終）
【別解】
（１）
t=cosxとおくと
よって、
（２）
t=sinxとおくと
したがって、
（３） t=1+x²とおくと
よって、
（別解終）
問４ 次の不定積分を計算せよ。
【解】
（１） t=1−xとおくと、x=1−t。
したがって、
よって、
（２） t=3x−2とおくと、x=(t+2)/3。
よって、
したがって、
（３） t=x²とおくと、
よって、
（４） t=√xとおくとx=t²。
よって、
したがって、
（解答終）
一般に、
は、t=sinxとおくと、
となるので、
また、
は、t=cosxとおくと、
となるので、
問５ 次の不定積分を求めよ。
【解】
（１）
ここで、t=sinxとおくと
よって、
（２）
t=cosxとおくと、
したがって、
（３） cosx=tとおくと、
よって、
（解答終）
問６ 次の不定積分を求めよ。
【解】
（１） t=logxとおくと、
したがって、
（２） t=logxとおくと、
よって、
（３） 
とおくと、x=logt。
とおくと、x=logt。
よって、
したがって、
（解答終）
問題 次の不定積分を求めよ。
【解】
（１）
t=sinxとおくと
よって、
（２）
t=cosxとおくと、
よって、
したがって、
（３）
t=sinxとおくと
したがって、
ゆえに、
（４） とおくとx=logt。
とおくとx=logt。
よって
したがって、
（解答終）
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