第３０回 部分積分

第３０回　部分積分

定理　f(x)、g(x)が区間IでC¹級であるならば、

が成り立つ。

特に、

である。

【証明】

積の微分法より

したがって、両辺をxで積分すると、

ゆえに、

である。

また、g(x)=xとおくと、g'(x)=1だから、

（証明終）

問１　次の不定積分を求めよ。

【解】

（解答終）

問１の（３）より

問２　次の不定積分を求めよ。

【解】

（解答終）

問３　次の不定積分を求めよ。

【解】

また、

ここで、

とおくと、

I、Jについて解くと、

よって、

（解答終）

もちろん、

これに、積分定数Cを加え、

と解くこともできるが、上の解答の方が楽ではないか。

問題１　次の公式を示せ。

【解】

同様に、

とおくと、

これをI、Jについて解くと、

積分定数Cを加えると、

（解答終）

問４　次の不定積分を求めよ。

【解】

（解答終）

問５　とすれば、次の等式が成り立つことを示せ。

【解】

n=0のとき

n=1,2,3,・・・のとき

（解答終）

問５の漸化式を用い、問１の（１）、（２）は次のように計算することができる。

問６　とすれば、次の等式が成り立つことを示せ。

【解】

n=0のとき、

n=1,2,3,・・・のとき

（解答終）

それほど便利な漸化式だと思えないが、これを用いると、

と計算することができる。

問７　次の等式を証明せよ。ただし、nは整数で、n≧2とする。

【解】

（解答終）