第１１回 非可算集合

第１１回　非可算集合

有理数、代数的（実）数のように、自然数よりもはるかに（個）数が多そうな無限集合の濃度も可算濃度であった。したがって、無限集合の濃度はすべてに等しいのではないかと思いたくなる。

しかし、この予想は正しくない。

次に、可算濃度ではない無限集合の実例をあげることにする。

（１）　実数全体の集合Rは可算集合ではない

実数の部分集合R₁=｛x∈R｜0<x<1｝とする。

R₁の要素xは、無限小数として、ただ一通りに表せる。

R₁が可算であると仮定すると、その要素は次のように自然数の番号をつけることができる。

ここで、上の表の対角線上の数を元に、

とし、

という実数を作る。

すると、0<b<1となり、b∈R₁である。

したがって、bは、あるに等しくならなければならないが、どのもbと小数点第n位が異なっており、である。

これは矛盾である。

したがって、R₁は可算ではなく、実数全体の集合Rも可算ではない。

これが有名なカントールの対角線論法である。

問　開区間(0,1)と実数全体の集合Rは対等であることを示せ。

【解】

とすると、fは(0,1)からRへの全単射になる。

したがって、開区間(0,1)と実数全体の集合Rは対等である。

（解答終）

実数全体の集合Rの濃度は

と表し、これを連続体の濃度という。

（補足）

代数的（実）数以外の実数を超越数という。

（２）　関数の濃度

実数全体の集合RからRへの関数全体の集合Fの濃度は、有限でも可算濃度でも連続体の濃度でもない。

【証明】

任意のx∈Rに対して実定数aに対応させる写像（関数）をfₐとおけば

である。

fₐ全体が作るFの部分集合をCとする。

実数aにfₐを対応させれば、これはRからCへの全単射（１対１対応）。したがって、C〜Rである。よって、Fは高々可算集合ではない。

次に、FとRが対等でないことを示す。

RからFへの全単射gがあると仮定する。

すると、Fの任意の要素は、Rのある要素aのgによる像gₐである。

ここで、任意のa∈Rに対して

という関数hを定義すると、h∈Fである。したがって、hはあるに等しい。つまり、任意のx∈Rに対して

となり、

である。

しかし、これは

と矛盾する。

よって、実数全体の集合RからRへの関数全体の集合Fと実数全体の集合Rとは対等ではない。

（証明終）

RからRへの関数全体の集合Fの濃度を関数の濃度という。

実は、

という関係があるのですが、たとえば、との間に濃度があるのかどうかはわからない。

というか、この間に濃度があると仮定してもよし、無しとしてもよし。

定理　全ての無限集合は可算である部分集合をもつ。

【略証】

集合Aが無限集合であれば、

と、順次、要素を取り出すことができ、

とすると、Bは可算集合、かつ、B⊂A。

（略証終）