第４回 過剰和と不足和、ダルブーの定理

第４回　過剰和と不足和、ダルブーの定理

リーマン和はに基づき定積分を定義する場合、有界閉区間I=[a,b]のすべての分割

の任意のについて

が、｜Δ｜→0のときに１つの値に収束することを示さないといけない。これは大変なので、あらたに次の不足和、過剰和を定義することにする。

定義

fを有界閉区間[a,b]で定義された有界関数とする。[a,b]の分割、とおく。分割Δに対してとおくとき、

を、それぞれ、f(x)のΔに関する不足和、過剰和という。

だから

であり、したがって

が成立する。

Iの分割にあらたな分点cを１つ追加した分割をΔ'とすると、このとき、となる区間が存在する。

分割の分割点を増やすと、過剰和は減少する。つまり、

特に

である。

同様に、不足和は、分割の分割点を増やすと、増回する。つまり

で、特に

である。

ΔとΔ’を合せて得られる分割をΔ’’とすると、

よって、s(Δ)は上に有界、S(Δ)は下に有界である。

ここで、あらたに上積分、下積分を定義する。

定義

関数fが有界閉区間I=[a,b]で有界であるとする。

過剰和S(Δ)について、すべての分割に関する下限

をf(x)のI上の上積分という。

不足和s(Δ)について、すべての分割に関する上限

をf(x)のI上の下積分という。

任意のΔ、Δ’について

が成り立つから、

である。

定理４　（ダルブーの定理）

有界閉区間I=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して、f(x)の不足和s(Δ)、過剰和S(Δ)は｜Δ｜→0で収束して、

である。

【証明】

を証明する。

だから任意の正数ε>0に対して

となる分割Δ₀が存在する。分割Δ₀の分点の数をnとする。

f(x)はI=[a,b]で有界だから

とおく。

分割Δの小区間に対してとなる分点を１つ加えた分割をΔ₁とすると、

より

である。

分割Δと分割Δ₀を合わせた分割をΔ’とすると、分割Δに高々n個の分点が追加されるだけだから、

そこで、

とおくと、｜Δ｜<δとなるIの分割に対して、

また、

より、

したがって、

が成り立つ。

についても同様。

（証明終）