関数の連続の問題

関数の連続の問題

問題１

とするとき、関数の連続性を調べよ。

【解】

a∈Rとし、fが点aで連続であると仮定する。

aに収束する有理数の点列（数列）を考えると、

aに収束する無理数の点列を考えると

関数fは点aで連続なのだからaに収束するすべての点列に対して

にならなければならないので、

つまり、この関数が連続になりうる点はa=1/2のみである。

そこで、点1/2の近傍、つまり、｜x−1/2｜<δ（δ>0）を考えると、xが有理数のとき

xが無理数のとき

いずれにせよ

したがって、δ→0のとき

となり連続になる。

fが点1/2で連続であることをε-δ論法で証明したいならば、

任意の正数ε>0に対してδ=εとすると

となるから、関数fはx=1/2で連続である。

したがって、x=1/2で連続、それ以外では不連続。

（解答終）

問題２　RからRへの関数がいたるところで連続で、xが有理数のときつねにf(x)=0ならば、fは恒等的に0であることを証明せよ。

【証明】

fは恒等的に0でない、つまり、f(a)≠0である無理数aが存在すると仮定する。

f(a)≠0だから、f(a)>0またはf(a)<0。

f(a)>0の場合、関数fはx=aで連続だから任意の正数ε>0に対して

となる正数δ>0が存在する。

εは任意の正数だからε=f(a)/2とおくと

つまり、f(a)>0のとき、aの近傍ではf(x)>0である。

同様に、f(a)<0のとき、aの近傍ではf(x)<0である。

無理数aの近傍には有理数xが存在し、f(x)>0またはf(x)<0、つまり、f(x)≠0にならなければならないけれど、これはxが有理数であるとき常にf(x)=0であるということに矛盾する。

この矛盾はxが無理数のとき恒等的にf(x)=0でないと仮定したためである。

よって、xが無理数のときも恒等的にf(x)=0となり、証明された。

（証明終）

ちなみに、f(a)<0のときは、とし

の不等式の右辺を使って

とするとよい。

【別の証明（？）】

無理数xに収束する有理数の点列をとると、関数fは点xで連続だから

したがって、xが無理数のときもfは恒等的に0である。

よって、証明された。

（証明（？）終）

問題３　閉区間[a,b]で連続な関数f(x)のとる値がつねに有理数だけならば、f(x)は[a,b]で定数関数であることを証明せよ。

【証明】

f(x)が[a,b]で定数関数でないとする。

つまり、c∈[a,b]でf(c)≠f(a)とする。

f(c)>f(a)とすると、問題の条件より、a≦x≦cで関数f(x)は連続だから、中間値の定理より

のすべてのβに対してβ=f(γ)となるγがa<γ<cに存在する。

f(a)<β<f(c)を満たす無理数βを１つ取り出すと、β=f(γ)を満たすγがa<γ<cに存在することになり、f(x)が常に有理数の値をとることと矛盾する。

この矛盾はf(x)が[a,b]で定数関数でないと仮定したことに起因する。

よって、f(x)が[a,b]で常に有理数の値だけをとるならば、f(x)は[a,b]で定数関数である。

（証明終）

今回の問題は、ほんの序の口だにゃ。

次回は脳味噌が痺れる問題を紹介するにゃ。

そして、次回の記事を読んだヒトのほとんどが関数の連続が何かわからなくなってしまう。