2016年7月11日月曜日

ベクトル 位置ベクトル

ベクトル 位置ベクトル


原点Oが定まっているとき、点Aの位置は
  
で定められる。このようなベクトルを位置ベクトルという。
だから、
  
になる。
ABm:nにわける点Pの位置ベクトルをとすると、
  
つまり、
  
である。
m=nのときは中点で
  
になる。
また、点ABCの位置ベクトルを
  
とするとき、△ABCの重心をGとすると
  
である。
ABCの重心Gは、BCの中点をMとすると、重心Gは中線AM2:1に内分する。
よって、
  

では、問題を。


問題1 空間に、同一線上にない3点ABCがある。次の条件を満たすとき、点GPABCに対してどのような位置関係にあるか。
  
【解】
ABCGPの位置ベクトルを
  
とする。
(1)
  
よって、Gは△ABCの重心である。

(2)
  
よって、PAB1:2に内分する点である。
(解答終わり)

問題2 空間に3点OABがある。点Pが直線AB上にあるための必要十分条件は、次の式が成り立つことであることを証明せよ。
  
【証明】
Pが直線AB上にあるならば、
  
となるtが存在する。
  
s=1−tとすると
  
逆に、
  
であるとすれば、s=1−tだから
  
となり、点Pは直線AB上に存在する。

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