ベクトル ベクトルの内積

ベクトル　ベクトルの内積

ベクトルの内積の定義

のなす角（共通の始点がOとなるように平行移動したときにはさむ角）をθとすると、の内積は

で定義される。

なお、は、それぞれベクトルの大きさをあらわす。

この定義から、次のことがすぐに言える。

なぜならば、θ=0°のときcosθ=1であり、内積の定義式①より

となるから。

また、のとき

である。

何故ならば、のとき、２つのベクトルのなす角θ=90°でcosθ=0となり、内積の定義式１より

になる。逆に

となるけれど、仮定よりなので、θ=90°となり、となる。

ベクトルの内積については、次のことが成り立つ。

（１）は交換法則、（２）は結合法則、（３）は分配法則であり、これらが成り立つ。

α、β、γが実数とすると、

　　（１）　α・β=β・α

　　（２）　(α・β)・γ=α・(β・γ)

　　（３）　α・(β+γ)=α・β+α・γ

が成立するので、ベクトルの内積は実数同士の掛け算のように計算をしてよい。

つ・ま・り、内積の計算の仕方がよくわからなかったら、上についている矢印をとって考え、普通の掛け算のように計算をしていいにゃ。

ということで、ベクトルの内積に慣れるために、問題を解くことにする。

問題１　１辺の長さが１である正三角形ABCがある。

（１）　の値を求めよ。

（２）　の値を求めよ。

（３）　の値を求めよ。

【解】
（１）　とのなす角度は60°、また、。

よって、

（２）　とのなす角は120°。

次のように分配法則を使って計算してもよい。

（３）　

とのなす角は180°だから、

あるいは、

だから、

と計算してもよい。

また、

と計算してもよい。

（解答終わり）

問題２　△ABCにおいて、とする。

（１）　△ABCが正三角形ならば、

であることを示せ。
（２）　（１）の逆は成り立つか。

【解】

（１）　正三角形ABCの一辺の長さをaとすると

同様に

よって、

（２）

また、

①に②を代入すると

同様に、

よって、△ABCは正三角形である。