2016年10月2日日曜日

第4回 数列の極限の定理の続き

第4回 数列の極限の定理の続き


定理5
とする。
ならば、はともに収束する数列で、
である。
【証明】

だから、は上に有界の増加数列であり、は下に有界の減少数列なので、
が存在する(定理4)。
(証明終了)

定理6 (区間縮小法)
閉区間の列において
ならば、すべての閉区間に含まれる一点αが存在し、
である。

上限・下限、有界な単調数列の収束、区間縮小法の順番で証明したけれど、
有界な単調数列の収束→区間縮小法→上限・下限、
区間縮小法→上限・下限→有界な単調数列の収束
の順に証明することも出来る。

ここで、大学の解析の演習書などに載っている有名な問題(算術幾何平均)をやる。
その前に、下準備として
相加平均 ≧ 相乗平均
を証明する。
a ≧ 0, b ≧ 0 のとき、
だにゃ。
だ・か・ら、
相加平均 ≧ 相乗平均

問題
とする。
を示し、
であることを示せ。
【証明】
さらに
さらに、相乗平均≦相加平均だから
となり、
となる。
で、定理5からはともに収束する数列となる。
として、
に、を代入すると
 ――― nが十分大きいならば、と見なせる―――
となり、
(証明終了)


定理8 (はさみうちの定理)
ならば
である。
【証明】
だから
である。
とすれば、n ≧ m
となり、
条件より
だから、
となり、n ≧ m
このことより
(証明終了)

はさみうちの定理は、関数の極限のところでも確か証明したと思うけれど、
数列の極限を求めるときによく使うので、ここでも証明した。


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