2017年3月15日水曜日

第2回 定積分の定義に基づいた計算例

第2回 定積分の定義に基づいた計算例


定積分(リーマン積分)の定義を最初に示す。

(リーマン)積分の定義
関数f(x)は有界閉区間[a,b]で有界とする。
任意の分割Δとそのそれぞれのの任意のに対して
であるとき、関数f(x)[a,b]で積分可能といい、
とあらわす。

なお、ここでいう分割とは
のことで、以降
と略記することにする。


問1 定数関数f(x)=cは、任意の有界閉区間[a,b]で積分可能で
であることを示せ。
【解】
分割を任意にとると
となり、分割やのとり方にかかわらない定数である。
したがって、
となり、f(x)[a,b]で積分可能で、
である。
(解答終)

問2(ジャンプする関数)
関数f(x)[a,b]で定義された関数、さらに、c>0で、a<d<bとする。
このとき、
[a,b]上で積分可能で
であることを示せ。
【解】
分割を任意にとると
中の0でないのは、最も多くて、のときに、とした場合。
したがって、
Δ|→0のとき2cΔ|→0だから、ハサミ打ちの定理より
となり、[a,b]f(x)は積分可能で、
である。
(解答終了)

前回、x∈[0,1]で定義される次の関数
が(リーマン)積分可能でないことを示したが、問2のように不連続な関数であっても積分可能な場合がある。

問3 0≧a<bとする。このとき、[a,b]上の関数f(x)=x²[a,b]で積分可能で、
となることを示せ。
【解】
分割を任意にとると

[a,b]で定義された関数g(x)=x²/3とすると、g(x)で連続、で微分可能だから、平均値の定理より
となる、が存在する。
このという特別な点を選び、このリーマン和を求めると
となる。

f(x)=x²で単調増加だから
また、だから、
で、|Δ|→0のとき(b²−a²)Δ|→0だから、
となり、 f(x)=x²[a,b]で積分可能、そして、
である。
(解答終)


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