第１２回 合成関数の（偏）微分の問題

第１２回　合成関数の（偏）微分の問題

問題１　u=f(x,y)がだけの関数φ(r)であるとする。

（１）

であることを示せ。

（２）　u=f(x,y)がC²級の調和関数ならば

であることを示せ。

【解】

（１）

だから、

したがって、

（２）　u=f(x,y)は調和関数だから、（１）より

（解答終）

（２）の微分方程式

は、ψ=φ'(r)とおくと、

となるので、変数分離法を用いて解くことができる。

その結果は

となるので、これをrで積分して

と解くことができる。

問題２　次の問に答えよ。

（１）　z=f(x,y)、y=φ(x)のとき、を求めよ。

（２）　z=f(x,y)、x=cosht、y=sinhtのとき、をもとめよ。

【解】

（１）

fがC²級ならばなので、

（２）

よって、

fがC²級ならばなので、

（解答終）

問題３　z=f(x,y)、x=rcosθ、y=rsinθのとき、次を証明せよ。

【解】

（１）

（２）

（解答終）

２×２の行列の演算とその逆行列くらいは知っているでしょう？