第１８回 陰関数の種々の計算問題

第１８回　陰関数の種々の計算問題

問題１　次の関係式が定めるxの関数yの第１次導関数、第２次導関数を求めよ。

【解】

（１）　x²+y²=1の両辺をxで微分すると、

y≠0のとき

（２）　の両辺をxで微分すると、

のとき、つまり、x+y≠0のとき、

（解答終）

問題２　曲線x²+xy+y²=3の点(1,1)における接線を求めよ。

【解】

x²+xy+y²=3の両辺をxで微分すると、

よって、x+2y≠0ならば、

(x,y)=(1,1)を代入すると、

したがって、接線の方程式は

（解答終）

f(x,y)をC¹級の関数とし、点(x₀,y₀)を曲線f(x,y)=0上の点、そして、またはであるとする。

いま仮にとすると、陰関数定理より、点x₀の近傍内にある曲線の部分は、f(x,y)=0で定まるただ１つの陰関数y=φ(x)で表される。

このとき、

が成立するので、接線の方程式は

であり、曲線上の点(x₀,y₀)における曲線f(x,y)=0の接線はただ１本である。

この結果を用いるならば、問題２は次のように解くこともできる。

【別解】

f(x,y)=x²+xy+y²–3=0とすると、

f(x,y)の点(1,1)における偏微分係数だから、曲線f(x,y)=0の曲線上の点(1,1)における接線の方程式は、（１）より、

（別解終）

問題３　次の関係式で定められる陰関数yの極値を求めよ。

【解】

x²–xy+y²=3の両辺をxで微分すると、

よって、y'=0になるのはy=2xのとき。

これをx²–xy+y²=3に代入すると、

よって、yの陰関数の極値になる点は(x,y)=(1,2)、(−1,−2)。

極値の判定をするために、①の両辺をxで微分すると、

極値を取る点ではy'=0だから、

したがって、

(x,y)=(1,2)のときy''=−2/3<0となり、このとき極大、

(x,y)=(−1,−2)のとき、y''=2/3>0となり、このとき極小。

以上のことより、x=1のときyは極大で極大値は2、x=−1のときyは極小で極小値は−2である。

（解答終）

【別解】

xに関する２次方程式x²–yx+y²–3=0のxの解は実数でなければならないから、２次方程式の判別式をDとすると、

でなければならない。

y=−2のとき

y=2のとき

よって、

x=−1のときyは極小で極小値は−2。

x=1のときyは極大で極大値は2。

（別解終了）

２次方程式の判別式を使わず、その元となる平方完成を用いると、

【別解２】

よって、

x=−1のときyは極小で極小値は−2。

x=1のときyは極大で極大値は2。

（別解終了）