第２０回 ラグランジュの未定乗数法

第２０回　ラグランジュの未定乗数法

定理　（ラグランジュの未定乗数法）

関数φ(x,y)は点(a,b)の近傍でC¹級でφ(a,b)=0で、(a,b)は特異点でないとする。このとき、φ(x,y)=0の条件のもとでf(x,y)が点(a,b)で極値をとり、かつ全微分可能ならば、ある定数λがあって、次が成り立つ。

【証明】

点(a,b)は特異点でないので、または。

いま仮にとすると、このとき、陰関数定理よりφ(x,y)=0はx=aの近傍でb=ψ(a)でC¹級な陰関数y=ψ(x)が存在する。

とおくと、g(x)はx=aで極値をとるからg'(a)=0。

また、

だから、

ここで、

とおくと、

（証明終）

問題１　x²+y²=1のとき、f(x,y)=x+yの最大値、最小値をと求めよ。

【解】

曲線φ(x,y)=x²+y²–1= 0は有界閉集合で、f(x,y)は連続だから最大値、最小値をもつ。

だからとなるのは(x,y)=(0,0)であるが、φ(0,0)=−1だから、φ(x,y)は特異点をもたない。

このとき、f(x,y)の最大値、最小値は極値だから、ラグランジュの未定乗数法より

とおくと、極値を取る点では

でなければならない。

λ≠0だから、①と②より

③に代入すると、

よって、

したがって、最大値は

最小値は

である。

（解答終）

【別解１」

x²+y²=1だから、x=cosθ、y=sinθ（0≦θ<2π）とおくと、三角形の合成公式より

よって、

θ=π/4、すなわち、x=y=1/√2のときに最大で最大値は√2で、

θ=5π/4、すなわち、x=y=−1/√2のときに最小で最小値は−√2である。

（別解１終）

【別解２】

x+y=kとおくと、直線x+y=kが円x²+y²=1に接するときに、kは最大、最小になる。

これは、原点と直線x+y–k=0の距離=1のときだから、

（別解２終）

問題２　4x²+y²=4の条件のもとで、f(x,y)=x+yの極値を求めよ。

【解】

曲線4x²+y²=4は有界閉集合で、f(x,y)は連続だからこの有界閉集合で最大値、最小値をもつ。

φ(x,y)=4x²+y²–4=0とおくと、だから、となる点は(x,y)=(0,0)であるが、φ(0,0)=−1≠0なので、φ(x,y)=0は特異点をもたない。

ラグランジュの未定乗数法より

とおくと、

λ≠0だから、①と②より

③式に代入すると、

よって、

したがって、(x,y)=(1/√5,4/√5)のときにfは極大で極大値は√5、(x,y)=(−1/√5,−4/√5)のときにfは極小で極小値は−√5である。

（解答終）

【別解】

直線x+y=kが楕円4x²+y²=4に接するときにkは最大・最小。

y=k–xとおき、4x²+y²=4に代入すると、

（別解終）

問題３　x³+y³=3xyの条件のもとでf(x,y)=x²+y²の極値を求めよ。

【解】

φ(x,y)=x³+y³–3xy=0とおくと、 だから、(x,y)=(0,0)は特異点。

f(x,y)=x²+y²は非負だから(x,y)=(0,0)のときにf(0,0)=0で、このときに極小である。

(x,y)≠(0,0)とする。

ラグランジュの未定乗数法より

とおくと、

①、②より

x=yのとき、x³+y³=3xyより

陰関数定理より(x,y)=(3/2,3/2)でだから、x=2/3の近傍でyはxの関数である。

極値の判定をするために、f(x,y)=x²+y²とx³+y³=3xyをxで微分すると、

よって、(x,y)=(3/2,3/2)のとき

③と④の両辺をxで微分すると、

よって、(x,y)=(3/2,3/2)のとき、⑤式より

となり、(x,y)=(3/2,3/2)のとき、fは極大で、

x+y+xy=0のとき、x³+y³=3xyより

x+y=0とx³+y³=3xyより(x,y)=(0,0)。

以上のことより、(x,y)=(0,0)のとき、f(x,y)は極小で、極小値は0。

(x,y)=(3/2,3/2)のとき、f(x,y)は極大で、極大値は9/2。

（解答終）