第５回 ベルヌーイ形、リッカチ形の微分方程式

第５回　ベルヌーイ形、リッカチ形の微分方程式

§１　ベルヌーイ形

をベルヌーイ形の微分方程式という。

（１）の両辺をで割ると、

とおき、この両辺をxで微分すると

となるから、tの線形の微分方程式

を得る。

この微分方程式を解くことによって、ベルヌーイ形の微分方程式（１）を解くことができる。

問題１　次の微分方程式を解け。

【解】

（１）　この微分方程式はn=2のときのベルヌーイ形の微分方程式。

両辺をy²で割ると、

そこで、

とおき、両辺をxで微分すると、

したがって、①は

となる。

よって、

（２）　この微分方程式はn=−3のときのベルヌーイ形の微分方程式。

両辺をy⁻³で割ると、すなわち、y³をかけると、

そこで、

とおき、両辺をxで微分すると、

よって、①は

両辺をx⁴で割ると、

（解答終）

§２　リッカチ形

y(x)についての１階微分方程式

をリッカチの微分方程式という。

これは一般に解くことはできないが、１つの特殊解y₁が既知であるとき次のように解くことができる。

y₁は（２）の特殊解だから、

（２）の両辺を上の式で引くと、

ここで、

とすると、

これはuについてのベルヌーイ形の微分方程式だから、解くことができる。

問題２　次の微分方程式を解け。

【解】

y=1とすると、①は

したがって、y=1は微分方程式①の解である。

そこで、u=y–1とおくと、u'=y'。

よって、①は

これはn=2のベルヌーイ形なので、両辺をu²で割ると、

そこで、

とおき、両辺をxで微分すると、

よって、

微分方程式

の解は。

ここで、v=xとすると、

したがって、v=xは、②の特殊解。

よって、②の一般解は

（解答終）

問題４　次の問に答えよ。

（１）　リッカチ形微分方程式

が変換

によって、u(x)についての２階の線形微分方程式になることを示せ。

（２）　（１）の変換によって、微分方程式

を線形微分方程式に変換せよ。

【解】

（１）　とおくと

よって、微分方程式は次のように変換される。

（２）　とおくと、（１）より