2017年3月22日水曜日

第4回 過剰和と不足和、ダルブーの定理

第4回 過剰和と不足和、ダルブーの定理


リーマン和はに基づき定積分を定義する場合、有界閉区間I=[a,b]のすべての分割
の任意のについて
が、|Δ|→0のときに1つの値に収束することを示さないといけない。これは大変なので、あらたに次の不足和、過剰和を定義することにする。

定義
fを有界閉区間[a,b]で定義された有界関数とする。[a,b]の分割とおく。分割Δに対してとおくとき、
を、それぞれ、f(x)Δに関する不足和、過剰和という。

だから
であり、したがって
が成立する。



Iの分割にあらたな分点cを1つ追加した分割をΔ'とすると、このとき、となる区間が存在する。
分割の分割点を増やすと、過剰和は減少する。つまり、
特に
である。
同様に、不足和は、分割の分割点を増やすと、増回する。つまり
で、特に
である。
ΔΔ’を合せて得られる分割をΔ’’とすると、
よって、s(Δ)は上に有界、S(Δ)は下に有界である。

ここで、あらたに上積分、下積分を定義する。

定義
関数fが有界閉区間I=[a,b]で有界であるとする。
過剰和S(Δ)について、すべての分割に関する下限
f(x)I上の上積分という。
不足和s(Δ)について、すべての分割に関する上限
f(x)I上の下積分という。

任意のΔΔ’について
が成り立つから、
である。

定理4 (ダルブーの定理)
有界閉区間I=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して、f(x)の不足和s(Δ)、過剰和S(Δ)は|Δ|→0で収束して、
である。
【証明】
を証明する。
だから任意の正数ε>0に対して
となる分割Δ₀が存在する。分割Δ₀の分点の数をnとする。
f(x)I=[a,b]で有界だから
とおく。
分割Δの小区間に対してとなる分点を1つ加えた分割をΔ₁とすると、
より
である。
分割Δと分割Δ₀を合わせた分割をΔ’とすると、分割Δに高々n個の分点が追加されるだけだから、
そこで、
とおくと、|ΔとなるIの分割に対して、
また、
より、
したがって、
が成り立つ。

についても同様。
(証明終)